Exercices types : 1<sup>ère</sup>partie - Echantillonnage et estimation - TES

Question 1

Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que

92\%

des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à

10^{-2}

près.

On prélève au hasard un échantillon de $100$ sachets. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à $95\%$ de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille $100$ .

Correction

Nous avons

n = 100

et

p =0,92

.
Il faut vérifier les conditions suivantes

n\ge 30

,

np\ge 5

et

n\left(1-p\right)\ge 5

$100\ge 30$ donc $n\ge 30$
$100\times 0,92=92$ donc $np\ge 5$
$100\times \left(1-0,92\right)=8$ donc $n\left(1-p\right)\ge 5$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de

95\%

.
On a alors :

I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]

I=\left[0,92-1,96\times \frac{\sqrt{0,92\times \left(1-0,92\right)} }{\sqrt{100} } ;0,92+1,96\times \frac{\sqrt{0,92\times \left(1-0,92\right)} }{\sqrt{100} } \right]

I=\left[0,87;0,97\right] .

Ici

0,87

est une valeur approchée par défaut de

0,92-1,96\times \frac{\sqrt{0,92\times \left(1-0,92\right)} }{\sqrt{100} }

Ici

0,97

est une valeur approchée par excès de

0,92+1,96\times \frac{\sqrt{0,92\times \left(1-0,92\right)} }{\sqrt{100} }

Question 2

Dans le prélèvement de $100$ sachets, $88$ donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l’hypothèse du directeur?

Correction

On détermine la fréquence des sachets efficaces, il vient alors que :

f_{obs} =\frac{88}{100} \approx 0,88

Or

f_{obs} \in \left[0,87;0,97\right]

.
Nous pouvons accepter l’hypothèse du directeur car dans ce lot, la fréquence de plantes résistantes

0,88

appartient à l’intervalle de fluctuation.

Question 3

On considère la variable aléatoire

X

qui, à tout prélèvement de

100

sachets, associe le nombre de sachets donnant des plantes résistantes. On admet que la variable aléatoire

X

suit la loi binomiale de paramètres

n=100

et

p =0,92

.

Déterminer l’espérance et l’écart type de $X$ (arrondi à $0,01$ près).

Correction

X

est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale

B\left(n, p\right)

, alors l’espérance mathématique

E\left(X\right)

, la variance

V\left(X\right)

et l’écart type

\sigma\left(X\right)

sont égales à :

E\left(X\right)=n\times p

V\left(X\right)=n\times p\times \left(1-p\right)

\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} =\sqrt{n\times p\times \left(1-p\right)}

Ainsi :

E\left(X\right)=100\times 0,92

donc

E\left(X\right)=92

V\left(X\right)=100\times 0,92\times \left(1-0,92\right)

d'où :

V\left(X\right)=7,36

\sigma \left(X\right)=\sqrt{7,36}

d'où :

\sigma \left(X\right)\approx2,71

Question 4

On définit la variable aléatoire

Y

qui suit la loi normale de paramètres

\mu=92

et d'écart type

\sigma =2,7

.

En utilisant la variable aléatoire $Y$ , calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre $89$ et $94$ .

Correction

Il nous faut donc calculer :

P\left(89\le Y\le 94\right)

Avec une calculatrice Texas, pour

P\left(89\le Y\le 94\right)

on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep( $89$ ; $94$ ; $92$ ; $2,7$ ) puis on tape sur Enter et on obtient :

P\left(89\le Y\le 94\right)\approx 0,64

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour

P\left(89\le Y\le 94\right)

on tape :

Normal C.D
Lower :

89

valeur Minimale
Upper :

94

valeur Maximale

\sigma

:

2,7

écart type

\mu

:

92

espérance

Puis on tape sur EXE et on obtient :

P\left(89\le Y\le 94\right)\approx 0,64

Exercices types : 1èrepartie - Exercice 2

On prélève au hasard un échantillon de 100100100 sachets. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95%95\%95% de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100100100.

Dans le prélèvement de 100100100 sachets, 888888 donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l’hypothèse du directeur?

Déterminer l’espérance et l’écart type de XXX (arrondi à 0,010,010,01 près).

En utilisant la variable aléatoire YYY, calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre 898989 et 949494.

Exercices types : 1^èrepartie - Exercice 2

On prélève au hasard un échantillon de $100$ sachets. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à $95\%$ de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille $100$ .

Dans le prélèvement de $100$ sachets, $88$ donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l’hypothèse du directeur?

Déterminer l’espérance et l’écart type de $X$ (arrondi à $0,01$ près).

En utilisant la variable aléatoire $Y$ , calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre $89$ et $94$ .