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Echantillonnage et estimation
Exercices types : 1
ère
partie - Exercice 2
20 min
35
Question 1
Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que
92
%
92\%
92%
des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à
1
0
−
2
10^{-2}
1
0
−
2
près.
On prélève au hasard un échantillon de
100
100
100
sachets. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à
95
%
95\%
95%
de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille
100
100
100
.
Correction
Nous avons
n
=
100
n = 100
n
=
100
et
p
=
0
,
92
p =0,92
p
=
0
,
92
.
Il faut vérifier les conditions suivantes
n
≥
30
n\ge 30
n
≥
30
,
n
p
≥
5
np\ge 5
n
p
≥
5
et
n
(
1
−
p
)
≥
5
n\left(1-p\right)\ge 5
n
(
1
−
p
)
≥
5
100
≥
30
100\ge 30
100
≥
30
donc
n
≥
30
n\ge 30
n
≥
30
100
×
0
,
92
=
92
100\times 0,92=92
100
×
0
,
92
=
92
donc
n
p
≥
5
np\ge 5
n
p
≥
5
100
×
(
1
−
0
,
92
)
=
8
100\times \left(1-0,92\right)=8
100
×
(
1
−
0
,
92
)
=
8
donc
n
(
1
−
p
)
≥
5
n\left(1-p\right)\ge 5
n
(
1
−
p
)
≥
5
Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de
95
%
95\%
95%
.
On a alors :
I
=
[
p
−
1
,
96
×
p
×
(
1
−
p
)
n
;
p
+
1
,
96
×
p
×
(
1
−
p
)
n
]
I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]
I
=
[
p
−
1
,
96
×
n
p
×
(
1
−
p
)
;
p
+
1
,
96
×
n
p
×
(
1
−
p
)
]
I
=
[
0
,
92
−
1
,
96
×
0
,
92
×
(
1
−
0
,
92
)
100
;
0
,
92
+
1
,
96
×
0
,
92
×
(
1
−
0
,
92
)
100
]
I=\left[0,92-1,96\times \frac{\sqrt{0,92\times \left(1-0,92\right)} }{\sqrt{100} } ;0,92+1,96\times \frac{\sqrt{0,92\times \left(1-0,92\right)} }{\sqrt{100} } \right]
I
=
[
0
,
92
−
1
,
96
×
100
0
,
92
×
(
1
−
0
,
92
)
;
0
,
92
+
1
,
96
×
100
0
,
92
×
(
1
−
0
,
92
)
]
I
=
[
0
,
87
;
0
,
97
]
.
I=\left[0,87;0,97\right] .
I
=
[
0
,
87
;
0
,
97
]
.
Ici
0
,
87
0,87
0
,
87
est une valeur approchée par défaut de
0
,
92
−
1
,
96
×
0
,
92
×
(
1
−
0
,
92
)
100
0,92-1,96\times \frac{\sqrt{0,92\times \left(1-0,92\right)} }{\sqrt{100} }
0
,
92
−
1
,
96
×
100
0
,
92
×
(
1
−
0
,
92
)
Ici
0
,
97
0,97
0
,
97
est une valeur approchée par excès de
0
,
92
+
1
,
96
×
0
,
92
×
(
1
−
0
,
92
)
100
0,92+1,96\times \frac{\sqrt{0,92\times \left(1-0,92\right)} }{\sqrt{100} }
0
,
92
+
1
,
96
×
100
0
,
92
×
(
1
−
0
,
92
)
Question 2
Dans le prélèvement de
100
100
100
sachets,
88
88
88
donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l’hypothèse du directeur?
Correction
On détermine la fréquence des sachets efficaces, il vient alors que :
f
o
b
s
=
88
100
≈
0
,
88
f_{obs} =\frac{88}{100} \approx 0,88
f
o
b
s
=
100
88
≈
0
,
88
Or
f
o
b
s
∈
[
0
,
87
;
0
,
97
]
f_{obs} \in \left[0,87;0,97\right]
f
o
b
s
∈
[
0
,
87
;
0
,
97
]
.
Nous pouvons accepter l’hypothèse du directeur car dans ce lot, la fréquence de plantes résistantes
0
,
88
0,88
0
,
88
appartient à l’intervalle de fluctuation.
Question 3
On considère la variable aléatoire
X
X
X
qui, à tout prélèvement de
100
100
100
sachets, associe le nombre de sachets donnant des plantes résistantes. On admet que la variable aléatoire
X
X
X
suit la loi binomiale de paramètres
n
=
100
n=100
n
=
100
et
p
=
0
,
92
p =0,92
p
=
0
,
92
.
Déterminer l’espérance et l’écart type de
X
X
X
(arrondi à
0
,
01
0,01
0
,
01
près).
Correction
X
X
X
est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale
B
(
n
,
p
)
B\left(n, p\right)
B
(
n
,
p
)
, alors l’espérance mathématique
E
(
X
)
E\left(X\right)
E
(
X
)
, la variance
V
(
X
)
V\left(X\right)
V
(
X
)
et l’écart type
σ
(
X
)
\sigma\left(X\right)
σ
(
X
)
sont égales à :
E
(
X
)
=
n
×
p
E\left(X\right)=n\times p
E
(
X
)
=
n
×
p
V
(
X
)
=
n
×
p
×
(
1
−
p
)
V\left(X\right)=n\times p\times \left(1-p\right)
V
(
X
)
=
n
×
p
×
(
1
−
p
)
σ
(
X
)
=
V
(
X
)
=
n
×
p
×
(
1
−
p
)
\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} =\sqrt{n\times p\times \left(1-p\right)}
σ
(
X
)
=
V
(
X
)
=
n
×
p
×
(
1
−
p
)
Ainsi :
E
(
X
)
=
100
×
0
,
92
E\left(X\right)=100\times 0,92
E
(
X
)
=
100
×
0
,
92
donc
E
(
X
)
=
92
E\left(X\right)=92
E
(
X
)
=
92
V
(
X
)
=
100
×
0
,
92
×
(
1
−
0
,
92
)
V\left(X\right)=100\times 0,92\times \left(1-0,92\right)
V
(
X
)
=
100
×
0
,
92
×
(
1
−
0
,
92
)
d'où :
V
(
X
)
=
7
,
36
V\left(X\right)=7,36
V
(
X
)
=
7
,
36
σ
(
X
)
=
7
,
36
\sigma \left(X\right)=\sqrt{7,36}
σ
(
X
)
=
7
,
36
d'où :
σ
(
X
)
≈
2
,
71
\sigma \left(X\right)\approx2,71
σ
(
X
)
≈
2
,
71
Question 4
On définit la variable aléatoire
Y
Y
Y
qui suit la loi normale de paramètres
μ
=
92
\mu=92
μ
=
92
et d'écart type
σ
=
2
,
7
\sigma =2,7
σ
=
2
,
7
.
En utilisant la variable aléatoire
Y
Y
Y
, calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre
89
89
89
et
94
94
94
.
Correction
Il nous faut donc calculer :
P
(
89
≤
Y
≤
94
)
P\left(89\le Y\le 94\right)
P
(
89
≤
Y
≤
94
)
Avec une calculatrice
Texas
, pour
P
(
89
≤
Y
≤
94
)
P\left(89\le Y\le 94\right)
P
(
89
≤
Y
≤
94
)
on tape
NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici
NormalFrep(
89
89
89
;
94
94
94
;
92
92
92
;
2
,
7
2,7
2
,
7
)
puis on tape sur
Enter
et on obtient :
P
(
89
≤
Y
≤
94
)
≈
0
,
64
P\left(89\le Y\le 94\right)\approx 0,64
P
(
89
≤
Y
≤
94
)
≈
0
,
64
Avec une calculatrice
Casio Graph 35+
, pour
P
(
89
≤
Y
≤
94
)
P\left(89\le Y\le 94\right)
P
(
89
≤
Y
≤
94
)
on tape :
Normal C.D
Lower :
89
89
89
valeur Minimale
Upper :
94
94
94
valeur Maximale
σ
\sigma
σ
:
2
,
7
2,7
2
,
7
écart type
μ
\mu
μ
:
92
92
92
espérance
Puis on tape sur
EXE
et on obtient :
P
(
89
≤
Y
≤
94
)
≈
0
,
64
P\left(89\le Y\le 94\right)\approx 0,64
P
(
89
≤
Y
≤
94
)
≈
0
,
64