Exercice 6 - Echantillonnage et estimation - TES

Question 1

Une société de location de voitures s'intéresse à l’état mécanique de son parc automobile afin d’anticiper les frais d’entretien. On dispose des données suivantes :

20\%

des voitures sont sous garantie ;

pour

1\%

des voitures sous garantie, une réparation est nécessaire ;

pour

10\%

de celles qui ne sont plus sous garantie, une réparation est nécessaire.

On choisit une voiture au hasard dans le parc et on considère les évènements suivants :
•

G

: « la voiture est sous garantie » ;
•

R

: « une réparation est nécessaire ».

Traduire la situation par un arbre pondéré.

Correction

Question 2

Calculer la probabilité que la voiture choisie soit sous garantie et nécessite une réparation.

Correction

Il s'agit de l'évènement

G\cap R

. Ainsi :

P\left(G\cap R\right)=P\left(G\right)\times P_{G} \left(R\right)

P\left(G\cap R\right)=0,2\times 0,01

P\left(G\cap R\right)=0,002

Question 3

Justifier que $P\left(R\right)=0,082$ .

Correction

G

et

\overline{G}

forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :

P\left(R\right)=P\left(G\cap R\right)+P\left(\overline{G}\cap R\right)

P\left(R\right)=P\left(G\right)\times P_{G} \left(R\right)+P\left(\overline{G}\right)\times P_{\overline{G}} \left(R\right)

Soit :

P\left(R\right)=0,2\times 0,01 +0,8\times 0,1

Ainsi :

P\left(R\right)=0,082

Question 4

Il s'avère que la voiture choisie nécessite une réparation. Quelle est la probabilité qu’elle soit sous garantie? On arrondira le résultat à $10^{-3}$ .

Correction

Il s'agit ici d'une probabilité conditionnelle.

$P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$

Il vient alors que :

P_{R} \left(G\right)=\frac{P\left(G\cap R\right)}{P\left(R\right)}

P_{R} \left(G\right)=\frac{P\left(G\right)\times P_{G} \left(R\right)}{P\left(R\right)}

P_{R} \left(G\right)=\frac{0,2\times 0,01}{0,082}

d'où :

P_{R} \left(G\right)\approx 0,024

Question 5

La société de location fait appel à un garage pour l’entretien de son parc automobile. L’entretien consiste en une révision à laquelle s’ajoutent d’éventuelles réparations. Les conditions commerciales du garage sont les suivantes :

si la voiture est encore sous garantie, l’entretien est gratuit ;

si la voiture n’est plus sous garantie, l’entretien est facturé de la manière suivante : la révision coûte

100

euros et, si une réparation est nécessaire, il faut rajouter

400

euros.

Sachant que son parc automobile compte $2$ $500$ voitures, est-il raisonnable pour la société de location de prévoir un budget annuel de $250$ $000$ euros pour l’entretien de l’ensemble des voitures?
On pourra introduire la variable aléatoire $X$ qui représente le coût d’entretien d’une voiture.

Correction

Soit

X

la variable aléatoire prenant pour valeurs le coût d’entretien d’une voiture.
On va calculer le coût moyen par voiture qui correspond à l’espérance mathématique de

X

. Il y a trois

{\color{blue}\text{trois}}

cas de figures :

{\color{red}G}

qui correspond à une voiture sous garantie dont la probabilité est

0,2

et qui nécessite

0

euros de dépense.

{\color{red}\overline{G}\cap \overline{R}}

qui correspond à une voiture qui n’est plus sous garantie mais qui ne nécessite pas de réparation, dont la probabilité est

p\left(\overline{G}\cap \overline{R}\right)=0,8\times 0,9=0,72

et qui nécessite 100 euros de dépense.

{\color{red}\overline{G}\cap R}

qui correspond à une voiture qui n’est plus sous garantie mais qui nécessite une réparation, dont la probabilité est

p\left(\overline{G}\cap R\right)=0,8\times 0,1=0,08

et qui nécessite

100+400=500

euros de dépense.

La loi de probabilité de

X

est donnée ci-dessous :

X

E\left(X\right)

$E\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}$

Calcul de l'espérance

E\left(X\right)=0\times 0,2 +100\times 0,72 +500\times 0,08

Soit

E\left(X\right)=112

Chaque voiture coûte en moyenne

112

euros .
il y a

2

500

voitures, ce qui fait une dépense totale de

112\times2500=280

000

euros .
Le budget de

250

000

euros est alors insuffisant.

Question 6

Partie B .
La société de location propose à ses clients deux contrats de location : un contrat de courte durée (inférieure à

2

jours) et un contrat de longue durée (de

3

à

7

jours). La directrice de cette société affirme que

80\%

des clients demandent un contrat de courte durée. Sur les

600

derniers contrats signés l’année précédente,

550

étaient des contrats de courte durée.

En supposant que l’affirmation de la directrice est correcte, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence des contrats de courte durée.

Correction

Il faut vérifier les conditions suivantes

n\ge 30

,

np\ge 5

et

n\left(1-p\right)\ge 5

avec

p=0,8

et

n=600

.

$600\ge 30$ donc $n\ge 30$
$600\times 0,8=480$ donc $np\ge 5$
$600\times \left(1-0,8\right)=120$ donc $n\left(1-p\right)\ge 5$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de

95\%

.
On a alors :

I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]

I=\left[0,8-1,96\times \frac{\sqrt{0,8\times \left(1-0,8\right)} }{\sqrt{600} } ;0,8+1,96\times \frac{\sqrt{0,8\times \left(1-0,8\right)} }{\sqrt{600} } \right]

I=\left[0,767;0,833\right] .

Ici

0,767

est une valeur approchée par défaut de

0,8-1,96\times \frac{\sqrt{0,8\times \left(1-0,8\right)} }{\sqrt{600} }

Ici

0,833

est une valeur approchée par excès de

0,8+1,96\times \frac{\sqrt{0,8\times \left(1-0,8\right)} }{\sqrt{600} }

Question 7

Que peut-on penser de l’affirmation de la directrice?

Correction

Sur les

600

derniers contrats signés l’année précédente,

550

étaient des contrats de courte durée.
On détermine la fréquence des contrats de courte durée dans l'échantillon, il vient alors que :

f_{obs} =\frac{550}{600} \approx0,917

Or

f_{obs} \notin \left[0,767;0,833\right]

, donc la fréquence

f_{obs}

des contrats de courte durée n'est pas dans l'intervalle. Donc, au risque de

5\%

, l’affirmation de la directrice n’est pas correcte.

Question 8

Partie C .
On modélise le nombre de kilomètres parcourus par les clients louant une voiture pour une semaine par une variable aléatoire

Y

suivant la loi normale d’espérance

\mu=450

et d’écart-type

\sigma=100

.

Quelle est la probabilité que le client louant la voiture pour une semaine roule entre $500$ km et $600$ km? On arrondira le résultat à $10^{-3}$ .

Correction

Nous devons calculer

P\left(500\le Y\le 600\right)

Avec une calculatrice Texas, pour

P\left(500\le Y\le 600\right)

on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep( $500$ , $600$ , $450$ , $100$ ) puis on tape sur Enter et on obtient :

P\left(500\le Y\le 600\right)\approx 0,242

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour

P\left(500\le Y\le 600\right)

on tape :

Normal C.D
Lower :

500

valeur Minimale
Upper :

600

valeur Maximale

\sigma

:

100

écart type

\mu

:

450

espérance

Puis on tape sur EXE et on obtient :

P\left(500\le Y\le 600\right)\approx 0,242

Question 9

La société de location souhaite faire une offre promotionnelle aux $15\%$ de ses clients parcourant le moins de kilomètres en une semaine. En-dessous de quel kilométrage hebdomadaire, arrondi à l’unité, un client sera-t-il concerné par cette offre?

Correction

Nous devons calculer

P\left(Y\le a\right)=0,15

Avec une calculatrice Texas, pour

P\left(Y\le a\right)=0,15

on tape InvNorm(valeur donnée, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici InvNorm( $0.15$ , $450$ , $100$ ) puis on tape sur Enter et on obtient :

a\approx 346

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour

P\left(Y\le a\right)=0,15

on tape :

Normal inverse
Data : Variable
Tail : Left car c'est

\le

Area :

0,15

\sigma

:

100

Ecart type

\mu

:

450

Espérance

puis on tape sur EXE et on obtient :

a\approx 346

En-dessous de

346

km hebdomadaire, un client sera alors concerné par l'offre promotionnelle.

Exercice 6 - Exercice 1

Traduire la situation par un arbre pondéré.

Calculer la probabilité que la voiture choisie soit sous garantie et nécessite une réparation.

Justifier que P(R)=0,082P\left(R\right)=0,082P(R)=0,082.

Il s'avère que la voiture choisie nécessite une réparation. Quelle est la probabilité qu’elle soit sous garantie? On arrondira le résultat à 10−310^{-3}10−3.

En supposant que l’affirmation de la directrice est correcte, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\%95% de la fréquence des contrats de courte durée.

Que peut-on penser de l’affirmation de la directrice?

Quelle est la probabilité que le client louant la voiture pour une semaine roule entre 500500500 km et 600600600 km? On arrondira le résultat à 10−310^{-3}10−3.

La société de location souhaite faire une offre promotionnelle aux 15%15\%15% de ses clients parcourant le moins de kilomètres en une semaine. En-dessous de quel kilométrage hebdomadaire, arrondi à l’unité, un client sera-t-il concerné par cette offre?

Justifier que $P\left(R\right)=0,082$ .

Il s'avère que la voiture choisie nécessite une réparation. Quelle est la probabilité qu’elle soit sous garantie? On arrondira le résultat à $10^{-3}$ .

En supposant que l’affirmation de la directrice est correcte, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence des contrats de courte durée.

Quelle est la probabilité que le client louant la voiture pour une semaine roule entre $500$ km et $600$ km? On arrondira le résultat à $10^{-3}$ .

La société de location souhaite faire une offre promotionnelle aux $15\%$ de ses clients parcourant le moins de kilomètres en une semaine. En-dessous de quel kilométrage hebdomadaire, arrondi à l’unité, un client sera-t-il concerné par cette offre?