Exercice 5 - Exercice 1

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L'entreprise Printfactory fabrique, en grande quantité, des cartouches d'encre noire pour imprimante.
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.
On considère la variable aléatoire XX qui, à chaque cartouche produite, associe sa durée de vie exprimée en nombre de pages.
On admet que XX suit la loi normale d'espérance μ=250\mu =250 et d'écart-type σ=10\sigma =10.
Question 1

Affirmation 1 : Environ 95%95\% des cartouches produites ont une durée de vie comprise entre 230230 et 270270 pages.
  • Vrai
  • Faux

Correction
La bonne réponse est a.
On cherche P(230≤X≤270)P\left(230\le X\le 270\right) sachant que la variable aléatoire XX suit la loi normale de paramètres μ=250\mu =250 et σ=10\sigma =10.
Or 230=250−20=μ−2σ230=250-20=\mu -2\sigma et 270=250+20=μ+2σ270=250+20=\mu +2\sigma .
On sait que pour une loi normale de paramètres μ\mu et σ\sigma , P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈95%P\left(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma \right)\approx 95\%
Vous auriez pu également faire le calcul de P(230≤X≤270)P\left(230\le X\le 270\right) directement à la calculatrice.
Question 2

Affirmation 2 : Moins de 50%50\% des cartouches produites ont une durée de vie inférieure à 300300 pages.
  • Vrai
  • Faux

Correction
La bonne réponse est b.
La probabilité qu'une cartouche ait une durée de vie inférieure à 300300 est P(X≤300)P\left(X\le 300\right).
D'après les propriétés de la loi normale, comme l'espérance est μ=250\mu =250, on sait que P(X≤250)=0,5P\left(X\le 250\right)=0,5.
De plus, 300>250300 > 250 donc P(X≤300)>P(X≤250)P\left(X\le 300\right)>P\left(X\le 250\right) .
Il vient alors que P(X≤300)>0,5P\left(X\le 300\right)>0,5.
On peut également répondre à cette question en faisant le calcul de P(X≤300)P\left(X\le 300\right) directement à la calculatrice.
On obtient dans ce cas P(X≤300)≈0,99P\left(X\le 300\right)\approx 0,99
Question 3
L'entreprise Printfactory a amélioré son procédé industriel et déclare que 80%80\% des cartouches produites ont une durée de vie supérieure à 250250 pages.
Un contrôleur désigné par l'entreprise effectue un test en prélevant de façon aléatoire un échantillon de cartouches dans la production.
Dans un échantillon de taille 10001000, le contrôleur a obtenu 240240 cartouches vides d'encre avant l'impression de 250250 pages.

Affirmation 3 : Le contrôleur valide la déclaration de l'entreprise.
  • Vrai
  • Faux

Correction
La bonne réponse est b.
L'échantillon est de taille n=1000n=1000 et p=0,8p=0,8
n=1000≥30n=1000\ge 30, np=800np=800 et n(1−p)=200>5n(1-p)=200>5.
Les conditions d'approximation sont réalisées donc on peut prendre comme intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% :
I=[p−1,96p(1−p)n;p+1,96p(1−p)n]I=\left[p-1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } \right]
I=[0,8−1,960,8×0,21000;0,8+1,960,8×0,21000]I=\left[0,8-1,96\frac{\sqrt{0,8\times 0,2} }{\sqrt{1000} } ;0,8+1,96\frac{\sqrt{0,8\times 0,2} }{\sqrt{1000} } \right]
I=[0,775;0,825]I=\left[0,775;0,825\right]
Le contrôleur a trouvé 240240 cartouches vides sur 10001000 donc une fréquence de cartouches ayant une durée de vie supérieure à 250250 pages de 1000−2401000≈0,76\frac{1000-240}{1000} \approx 0,76.
0,76∉[0,775;0,825]0,76\notin \left[0,775;0,825\right] donc il ne faut pas valider la déclaration de l'entreprise.

Programme pour l'intervalle de confiance et intervalle de fluctuation asymptotique pour une Texas.
Avec ce programme vous aurez directement le résultat une fois que vous aurez mis sur votre copie la forme générale.
Ce programme est très pratique pour avoir le bon résultat.

PROGRAM: CONFIANCE
Prompt n,fn,f
f−1n→Af-\frac{1}{\sqrt{n} } \to A
f+1n→Bf+\frac{1}{\sqrt{n} } \to B
Disp A,BA,B

PROGRAM: FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE
Prompt n,pn,p
p−1,96×p×(1−p)n→Ap-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \to A
p+1,96×p×(1−p)n→Bp+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \to B
Disp A,BA,B
Question 4
L'entreprise Printfactory souhaite connaître l'opinion de ses 1000010000 clients quant à la qualité d'impression de ses cartouches.
Pour cela, elle souhaite obtenir, à partir d'un échantillon aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau 0,950,95 avec un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 4%4\%.

Affirmation 4 : L'entreprise doit interroger au moins un quart de ses clients.
  • Vrai
  • Faux

Correction
La bonne réponse est a.
Un intervalle de confiance au niveau 95% est donné par [f−1n;f+1n]\left[f-\frac{1}{\sqrt{n} }; f+\frac{1}{\sqrt{n} } \right], où ff est la fréquence observée dans l'échantillon et nn la taille de l'échantillon.
Pour que cet intervalle ait une amplitude inférieure ou égale à 4% soit 0,04, il faut que la longueur de l'intervalle soit inférieure ou égale à 0,04, c'est-à-dire (f+1n)−(f−1n)≤0,04\left(f+\frac{1}{\sqrt{n} } \right)-\left(f-\frac{1}{\sqrt{n} } \right)\le 0,04 ce qui équivaut à 2n≤0,04\frac{2}{\sqrt{n} } \le 0,04.
On résout cette inéquation :
2n≤0,04\frac{2}{\sqrt{n} } \le 0,04
2n≤0,041\frac{2}{\sqrt{n} } \le \frac{0,04}{1}
Or AB≤CD⇔BA≤DC\frac{A}{B} \le \frac{C}{D} \Leftrightarrow \frac{B}{A} \le \frac{D}{C} , d'où :
n2≥10,04\frac{\sqrt{n} }{2} \ge \frac{1}{0,04}
n≥20,04\sqrt{n} \ge \frac{2}{0,04}
n≥50\sqrt{n} \ge 50
n≥(50)2n\ge \left(50\right)^{2}
n≥2500n\ge 2500

Il faut donc interroger au moins 25002500 clients, soit au moins un quart des 1000010000 clients.

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