Exercice 5 - Exercice 1

La bonne réponse est a.
On cherche $$P\left(230\le X\le 270\right)$$ sachant que la variable aléatoire $$X$$ suit la loi normale de paramètres $$\mu =250$$ et $$\sigma =10$$.
Or $$230=250-20=\mu -2\sigma$$ et $$270=250+20=\mu +2\sigma$$.
On sait que pour une loi normale de paramètres $$\mu$$ et $$\sigma$$, $$P\left(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma \right)\approx 95\%$$
Vous auriez pu également faire le calcul de $$P\left(230\le X\le 270\right)$$ directement à la calculatrice.

La bonne réponse est b.
La probabilité qu'une cartouche ait une durée de vie inférieure à $$300$$ est $$P\left(X\le 300\right)$$.
D'après les propriétés de la loi normale, comme l'espérance est $$\mu =250$$, on sait que $$P\left(X\le 250\right)=0,5$$.
De plus, $$300 > 250$$ donc $$P\left(X\le 300\right)>P\left(X\le 250\right)$$ .
Il vient alors que $$P\left(X\le 300\right)>0,5$$.
On peut également répondre à cette question en faisant le calcul de $$P\left(X\le 300\right)$$ directement à la calculatrice.
On obtient dans ce cas $$P\left(X\le 300\right)\approx 0,99$$

La bonne réponse est b.
L'échantillon est de taille $$n=1000$$ et $$p=0,8$$
$$n=1000\ge 30$$, $$np=800$$ et $$n(1-p)=200>5$$.
Les conditions d'approximation sont réalisées donc on peut prendre comme intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% :
$$I=\left[p-1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,8-1,96\frac{\sqrt{0,8\times 0,2} }{\sqrt{1000} } ;0,8+1,96\frac{\sqrt{0,8\times 0,2} }{\sqrt{1000} } \right]$$
$$I=\left[0,775;0,825\right]$$
Le contrôleur a trouvé $$240$$ cartouches vides sur $$1000$$ donc une fréquence de cartouches ayant une durée de vie supérieure à $$250$$ pages de $$\frac{1000-240}{1000} \approx 0,76$$.
$$0,76\notin \left[0,775;0,825\right]$$ donc il ne faut pas valider la déclaration de l'entreprise.

La bonne réponse est a.
Un intervalle de confiance au niveau 95% est donné par $$\left[f-\frac{1}{\sqrt{n} }; f+\frac{1}{\sqrt{n} } \right]$$, où $$f$$ est la fréquence observée dans l'échantillon et $$n$$ la taille de l'échantillon.
Pour que cet intervalle ait une amplitude inférieure ou égale à 4% soit 0,04, il faut que la longueur de l'intervalle soit inférieure ou égale à 0,04, c'est-à-dire $$\left(f+\frac{1}{\sqrt{n} } \right)-\left(f-\frac{1}{\sqrt{n} } \right)\le 0,04$$ ce qui équivaut à $$\frac{2}{\sqrt{n} } \le 0,04$$.
On résout cette inéquation :
$$\frac{2}{\sqrt{n} } \le 0,04$$
$$\frac{2}{\sqrt{n} } \le \frac{0,04}{1}$$
Or $$\frac{A}{B} \le \frac{C}{D} \Leftrightarrow \frac{B}{A} \le \frac{D}{C}$$, d'où :
$$\frac{\sqrt{n} }{2} \ge \frac{1}{0,04}$$
$$\sqrt{n} \ge \frac{2}{0,04}$$
$$\sqrt{n} \ge 50$$
$$n\ge \left(50\right)^{2}$$

Il faut donc interroger au moins $$2500$$ clients, soit au moins un quart des $$10000$$ clients.