Exercice 4 - Exercice 1

Pour le calcul de $$P\left(385\le X\le 415\right)$$
Avec une Texas, on tape pour $$P\left(385\le X\le 415\right)$$ NormalFrep(valeur min,valeur max ,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici NormalFrep($$385$$ , $$415$$ , $$400$$ , $$11$$ ) puis taper sur enter et vous obtiendrez :
Avec une Casio Graph 35+, on tape pour $$P\left(385\le X\le 415\right)$$

Puis taper sur EXE et vous obtiendrez
Cela signifie qu'avec ce modèle il devrait y avoir 83% des jouets dont la masse en grammes est comprise entre 385 et 415.

D'après les propriétés de la loi normale, on sait que $$P\left(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma \right)\approx 0,68$$.
On peut donc, pour des raisons de symétrie de la courbe en cloche, déduire que $$P\left(X\le \mu -\sigma \right)\approx \frac{1-0,68}{2} \approx 0,16$$ (en bleu) et que $$P\left(X\ge \mu +\sigma \right)\approx 0,16$$ (en vert)

Or $$\mu =400$$ et $$\sigma =11$$ donc $$\mu +\sigma =411$$, et donc $$P\left(X\ge 411\right)\approx 0,16$$

Un jouet est commercialisable s'il pèse au maximum $$420$$ g.
Pour le calcul de $$P\left(X\le 420\right)$$ :
Avec une Texas, on tape pour $$P\left(X\le 420\right)$$ NormalFrep(valeur min,valeur max ,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici NormalFrep($$-10^{99}$$ , $$420$$ , $$400$$ , $$11$$ ) puis taper sur enter et vous obtiendrez :
Avec une Casio Graph 35+, on tape pour $$P\left(X\le 420\right)$$

Puis taper sur EXE et vous obtiendrez
La probabilité qu'un jouet soit commercialisable est de $$97\%$$.

Les conditions de détermination de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de jouets commercialisables sont : $$n\ge 30$$, $$np\ge 5$$ et $$n(1-p)\ge 5$$.
$$n=300\ge 30;p=0,97$$et $$np\ge 5$$ et $$n(1-p)=300\times 0,03=9\ge 5$$.
Les conditions sont donc vérifiées.

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de jouets commercialisables est :
$$I=\left[p-1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} }; p+1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,97-1,96\frac{\sqrt{0,97\times 0,03} }{\sqrt{300} } ; 0,97+1,96\frac{\sqrt{0,97\times 0,03} }{\sqrt{300} } \right]\approx \left[0,95;0,99\right]$$
$$I=\left[0,95;0,99\right]$$
Ici $$0,95$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,97-1,96\frac{\sqrt{0,97\times 0,03} }{\sqrt{300} }$$
Ici $$0,99$$ est une valeur approchée par excès de $$0,97+1,96\frac{\sqrt{0,97\times 0,03} }{\sqrt{300} }$$

On constate que $$280$$ jouets de l'échantillon sont commercialisables, ce qui fait une fréquence observée de $$f_{obs} =\frac{280}{300} \approx 0,93$$.
Or : $$0,93\notin I$$ donc ce résultat remet en cause la modélisation effectuée par l'entreprise.