Rappels : équations de tangentes - Exercice 1

Ici $$a=1$$, ce qui donne, $$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$.
1^ère étape : calculer la dérivée de $$f$$
$$f'\left(x\right)=-2\times 2x+3$$
$$f'\left(x\right)=-4x+3$$
2^ème étape : calculer $$f\left(1\right)$$
$$f\left(1\right)=-2\times 1^{2} +3\times 1-5$$
$$f\left(1\right)=-4$$
3^ème étape : calculer $$f'\left(1\right)$$
$$f'\left(1\right)=-4\times 1+3$$
$$f'\left(1\right)=-1$$
4^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(1\right)$$ et de $$f'\left(1\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$
$$y=\left(-1\right)\times \left(x-1\right)-4$$
$$y=-x+1-4$$
$$y=-x-3$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$1$$ est alors $$y=-x-3$$.

Ici $$a=2$$, ce qui donne, $$y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)$$.
1^ère étape : calculer la dérivée de $$f$$
$$f'\left(x\right)=-3\times x^{2} +3$$
$$f'\left(x\right)=-3x^{2} +3$$
2^ème étape : calculer $$f\left(2\right)$$
$$f\left(2\right)=-2^{3} +3\times 2-5$$
$$f\left(2\right)=-7$$
3^ème étape : calculer $$f'\left(2\right)$$
$$f'\left(2\right)=-3\times 2^{2} +3$$
$$f'\left(2\right)=-9$$
4^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(2\right)$$ et de $$f'\left(2\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)$$
$$y=-9\times \left(x-2\right)-7$$
$$y=-9x+18-7$$
$$y=-9x+11$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$2$$ est alors $$y=-9x+11$$

Ici $$a=-1$$, on a alors $$y=f'\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)+f\left(-1\right)$$ ce qui donne : $$y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)$$.
1^ère étape : calculer la dérivée de $$f$$
On reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=3x-1$$ et $$v\left(x\right)=2x+6$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=3$$ et $$v'\left(x\right)=2$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=3\times \left(2x+6\right)+\left(3x-1\right)\times 2$$
$$f'\left(x\right)=6x+18+6x-2$$
$$f'\left(x\right)=12x+16$$
2^ème étape : calculer $$f\left(-1\right)$$
$$f\left(-1\right)=\left(3\times \left(-1\right)-1\right)\times \left(2\times \left(-1\right)+6\right)$$
$$f\left(-1\right)=\left(-3-1\right)\times \left(-2+6\right)$$
$$f\left(-1\right)=\left(-4\right)\times 4$$
$$f\left(-1\right)=-16$$
3^ème étape : calculer $$f'\left(-1\right)$$
$$f'\left(-1\right)=12\times \left(-1\right)+16$$
$$f'\left(-1\right)=-12+16$$
$$f'\left(-1\right)=4$$
4^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(2\right)$$ et de $$f'\left(2\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)$$
$$y=4\times \left(x+1\right)-16$$
$$y=4x+4-16$$
$$y=4x-12$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$-1$$ est alors $$y=4x-12$$