Exercices types : $$3$$^ème partie. Applications à l'économie - Exercice 4

$$f$$ est dérivable sur $$\left[0;6\right]$$. On a alors :
. Il nous faut maintenant étudier le signe de $$f'$$.
Il s'agit d'une équation du second degré. Nous allons utiliser le discriminant.
Nous donnons directement les résultats car le discriminant n'a maintenant plus de secret pour nous.
$$\Delta =1296$$ , $$x_{1} =\frac{1}{2}$$ et $$x_{2} =\frac{7}{2}$$
Comme $$a=-12<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Cela nous donne ci-dessous :
$$f\left(0\right)=-4\times0^{3}+24\times0^{2}-21\times0-9$$ d'où :
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=-4\times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+24\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-21\times\frac{1}{2}-9$$ d'où :
$$f\left(\frac{7}{2}\right)=-4\times\left(\frac{7}{2}\right)^{3}+24\times\left(\frac{7}{2}\right)^{2}-21\times\frac{7}{2}-9$$ d'où :
$$f\left(6\right)=-4\times6^{3}+24\times6^{2}-21\times6-9$$ d'où :

$$f\left(\frac{3}{2}\right)=-4\times\left(\frac{3}{2}\right)^{3}+24\times\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-21\times\frac{3}{2}-9$$ d'où :

Nous faisons apparaître le zéro recherché dans le tableau de variation donnée. Il vient alors que :
Sur $$\left[3,5;6\right]$$, la fonction $$f$$ est continue et strictement décroissante.
De plus, $$f\left(\frac{7}{2}\right)=40$$ et $$f\left(6\right)=-135$$ .
Or $$0\in \left[-135;40\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ appartenant à l'intervalle $$\left[3,5;6\right]$$ tel que $$f\left(x\right)=0$$.

A la calculatrice, on vérifie que :
$$f(4,81)\approx0,1178$$ et $$f(4,82)\approx-0,563$$
Or $$0 \in \left[-0,563;0,1178\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : $$4,81\le\alpha\le4,82$$.
Nous pouvons maintenant donner une valeur approchée de $$\alpha$$ à $$0,1$$ près. Ainsi : $$\alpha=4,8$$

D'après la question $$2$$ on sait que $$f\left(\frac{3}{2}\right)=0$$.
D'après la question $$3$$ on sait que $$f\left(\alpha\right)=0$$ avec $$4,81\le\alpha\le4,82$$.
Nous avons mis ces informations dans le tableau ci-dessous :

Sur l'intervalle $$\left[0;\frac{3}{2}\right]$$ , on a vérifie aisément que : $$f\left(x\right)\le0$$.

Sur l'intervalle $$\left[\frac{3}{2};\alpha\right]$$ , on a vérifie aisément que : $$f\left(x\right)\ge0$$.

Sur l'intervalle $$\left[\alpha;6\right]$$ , on a vérifie aisément que : $$f\left(x\right)\le0$$.

Nous dressons ci-dessous le tableau de signe de $$f$$.

L'entreprise est rentable lorsque le bénéfice est positif. Autrement dit , lorsque $$f\left(x\right)\ge0$$. D'après la question $$5$$, nous connaissons le tableau de signe de $$f$$.
Ainsi, sur l'intervalle $$\left[\frac{3}{2};\alpha \right]$$ nous avons bien $$f\left(x\right)\ge0$$ . Cela signifie que le bénéfice est rentable pour une production de $$\frac{3}{2}$$ centaines d'ordinateurs et $$\alpha$$ centaines d'ordinateurs . Autrement dit, pour une production de $$150$$ à $$480$$ ordinateurs.

Il nous faut reprendre le tableau de variation de $$f$$ vu à la question $$3$$.
Le bénéfice est maximal pour une production de $$\frac{7}{2}$$ centaines d'ordinateurs c'est à dire $$350$$ ordinateurs.
Pour obtenir la valeur maximale de ce bénéfice, il nous faut calculer $$f\left(\frac{7}{2}\right)$$ . Or $$f\left(\frac{7}{2}\right)=40$$ . Le bénéfice maximal serait de $$40$$ milliers d'euros.