Exercices types : $$3$$^ème partie. Applications à l'économie - Exercice 1

$$B$$ est dérivable sur $$\left[0;7\right]$$.
On a :
. Il nous faut maintenant étudier le signe de $$B'$$.
Il s'agit d'une équation du second degré. Nous allons utiliser le discriminant.
Nous donnons directement les résultats car le discriminant n'a maintenant plus de secret pour nous.
$$\Delta =4356$$ , $$x_{1} =-2$$ et $$x_{2} =\frac{7}{2}$$
Comme $$a=-12<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$B'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Cela nous donne ci-dessous :
$$B\left(0\right)=-4\times0^{3}+9\times0^{2}+84\times0-20$$ d'où :
$$B\left(\frac{7}{2}\right)=-4\times\left(\frac{7}{2}\right)^{3}+9\times\left(\frac{7}{2}\right)^{2}+84\times\frac{7}{2}-20$$ d'où :
$$B\left(7\right)=-4\times7^{3}+9\times7^{2}+84\times7-20$$ d'où :

Nous allons intégrer dans le tableau les solutions à l'équation $$B\left(x\right)=0$$. Nous les noterons $$\alpha$$ et $$\beta$$.
L'équation $$B\left(x\right)=0$$ admet donc deux solutions $$\alpha$$ et $$\beta$$ sur l'intervalle $$\left[0;7\right]$$.

A la calculatrice, on vérifie que :
D'une part :
$$B\left(0,23\right)\approx -0,252$$ et $$B\left(0,24\right)\approx 0,6231$$ .
Or $$0\in \left]-0,252;0,6231\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :
D'autre part :
$$B\left(5,75\right)\approx 0,125$$ et $$B\left(5,76\right)\approx -1,973$$ .
Or $$0\in \left]-1,973;0,125\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :

Sur $$\left[0 ;\frac{7}{2}\right]$$, la fonction $$B$$ est continue et strictement croissante et $$B\left(\alpha \right)=0$$.

Sur $$\left[\frac{7}{2} ;7\right]$$, la fonction $$B$$ est continue et strictement décroissante et $$B\left(\beta \right)=0$$.

Nous en déduisons le tableau de signe de $$B$$, ci-dessous :

Il nous faut donner l'intervalle sur lequel $$B\left(x\right)\ge0$$. D'après la question $$4$$, nous pouvons indiquer l'intervalle $$\left[\alpha;\beta\right]$$.