Exercices types : 22ème partie - Exercice 4

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Question 1
On considère la fonction gg une fonction définie sur [−2;3]\left[-2 ;3\right] par : g(x)=4x3+3x−4g\left(x\right)=4x^{3}+3x-4 et Cg\mathscr{C_g} sa courbe représentative dans un repère du plan.

Déterminer le tableau de variation de la fonction gg sur [−2;3]\left[-2 ;3\right].

Correction
gg est dérivable sur [−2;3]\left[-2 ;3\right].
g′(x)=12x2+3g'\left(x\right)=12x^{2}+3
. Pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [−2;3]\left[-2 ;3\right] , on sait que x2≥0x^{2}\ge0 et de ce fait 12x2+3>012x^{2}+3>0.
Il en résulte donc que g′(x)>0g'\left(x\right)>0 et de ce fait gg est strictement croissante sur [−2;3]\left[-2 ;3\right].
g(−2)=4×(−2)3+3×(−2)−4g\left(-2\right)=4\times\left(-2\right)^{3}+3\times\left(-2\right)-4 d'où g(−2)=−42g\left(-2\right)=-42
g(3)=4×33+3×3−4g\left(3\right)=4\times3^{3}+3\times3-4 d'où g(3)=113g\left(3\right)=113
Question 2

Démontrer que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle [−2;3]\left[-2 ;3\right].
On notera α\alpha cette solution.

Correction
On reprend le tableau de variation fait à la question 22. On fera apparaître le zéro que l'on recherche.

  • Sur [−2;3]\left[-2 ;3\right] , la fonction gg est continue et strictement croissante.
    De plus, g(−2)=−42g\left(-2\right)=-42 et g(3)=113g\left(3\right)=113 .
    Or 0∈[−42;133]0 \in \left[-42;133\right] , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha dans [−2;3]\left[-2 ;3\right] tel que g(x)=0g(x) = 0
Question 3

Déterminer un encadrement de α\alpha à 10−210^{-2} près.

Correction
A la calculatrice, on vérifie que :
g(0,75)≈−0,062g(0,75)\approx-0,062 et g(0,76)≈0,0359g(0,76)\approx0,0359
Or 0∈[−0,062;0,0359]0 \in \left[-0,062;0,0359\right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : 0,75≤α≤0,760,75\le\alpha\le0,76
Question 4

En déduire le signe de gg sur l'intervalle [−2;3]\left[-2 ;3\right].

Correction
Sur [−2;3]\left[-2;3\right], la fonction gg est continue et strictement croissante et g(α)=0g(\alpha) = 0
Donc g(x)≤0g(x)\le0 pour tout x∈[−2;α]x\in\left[-2;\alpha\right] et g(x)≥0g(x)\ge0 pour tout x∈[α;3]x\in\left[\alpha;3\right]
On résume cela dans un tableau de signe :

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