Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 4

$$g$$ est dérivable sur $$\left[-2 ;3\right]$$.
. Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[-2 ;3\right]$$ , on sait que $$x^{2}\ge0$$ et de ce fait $$12x^{2}+3>0$$.
Il en résulte donc que $$g'\left(x\right)>0$$ et de ce fait $$g$$ est strictement croissante sur $$\left[-2 ;3\right]$$.
$$g\left(-2\right)=4\times\left(-2\right)^{3}+3\times\left(-2\right)-4$$ d'où $$g\left(-2\right)=-42$$
$$g\left(3\right)=4\times3^{3}+3\times3-4$$ d'où $$g\left(3\right)=113$$

On reprend le tableau de variation fait à la question $$2$$. On fera apparaître le zéro que l'on recherche.

• Sur $$\left[-2 ;3\right]$$ , la fonction $$g$$ est continue et strictement croissante.
  De plus, $$g\left(-2\right)=-42$$ et $$g\left(3\right)=113$$ .
  Or $$0 \in \left[-42;133\right]$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left[-2 ;3\right]$$ tel que $$g(x) = 0$$

A la calculatrice, on vérifie que :
$$g(0,75)\approx-0,062$$ et $$g(0,76)\approx0,0359$$
Or $$0 \in \left[-0,062;0,0359\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : $$0,75\le\alpha\le0,76$$

Sur $$\left[-2;3\right]$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement croissante et $$g(\alpha) = 0$$
Donc $$g(x)\le0$$ pour tout $$x\in\left[-2;\alpha\right]$$ et $$g(x)\ge0$$ pour tout $$x\in\left[\alpha;3\right]$$
On résume cela dans un tableau de signe :