f est dérivable sur
[−2;4].
f′(x)=3×2x2−6×2x f′(x)=6x2−12x . Il s'agit d'une équation du second degré, on calcule le discriminant et on détermine les racines.
Ainsi :
Δ=144 , il existe donc deux racines réelles distinctes telles que :
x1=0 et
x2=2.
Comme
a=6>0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que
f′ est du signe de
a à l'extérieur des racines et du signe opposé à
a entre les racines.
On en déduit le tableau de signe de
f′ ainsi que le tableau de variation de
f. On indiquera les valeurs des extrema.
f(−2)=2×(−2)3−6×(−2)2+9 donc
f(−2)=−31 f(0)=2×03−6×02+9 donc
f(0)=9 f(2)=2×23−6×22+9 donc
f(2)=1 f(4)=2×43−6×42+9 donc
f(4)=41