Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 3

$$f$$ est une fonction polynomiale et par définition elle est définie sur l'intervalle $$\left]-\infty;+\infty \right[$$. Il en résulte que la fonction $$f$$ est continue , en particulier , sur l'intervalle $$\left[-2;4\right]$$.

$$f$$ est dérivable sur $$\left[-2;4\right]$$.
$$f'\left(x\right)=3\times2x^{2}-6\times2x$$
. Il s'agit d'une équation du second degré, on calcule le discriminant et on détermine les racines.
Ainsi : $$\Delta = 144$$ , il existe donc deux racines réelles distinctes telles que : $$x_{1} = 0$$ et $$x_{2} = 2$$.
Comme $$a=6>0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de signe de $$f'$$ ainsi que le tableau de variation de $$f$$. On indiquera les valeurs des extrema.
$$f\left(-2\right)=2\times\left(-2\right)^{3}-6\times\left(-2\right)^{2}+9$$ donc
$$f\left(0\right)=2\times0^{3}-6\times0^{2}+9$$ donc
$$f\left(2\right)=2\times2^{3}-6\times2^{2}+9$$ donc
$$f\left(4\right)=2\times4^{3}-6\times4^{2}+9$$ donc

On reprend le tableau de variation fait à la question $$2$$. On fera apparaître le zéro que l'on recherche. De plus :

• Sur $$\left[0;4\right]$$ , la fonction $$f$$ est continue et admet $$1$$ comme minimum.
  La fonction $$f$$ est strictement positive.
  Donc l'équation $$f(x)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[-2;0\right]$$ , la fonction $$f$$ est continue et strictement croissante.
  De plus, $$f\left(-2\right)=-31$$ et $$f\left(0\right)=9$$ .
  Or $$0 \in \left[-31;9\right]$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left[-2;0\right]$$ tel que $$f(x) = 0$$

A la calculatrice, on vérifie que :
$$f(-1,06)\approx-0,123$$ et $$f(-1,05)\approx0,0697$$
Or $$0 \in \left[-0,123;0,0697\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : $$-1,06\le\alpha\le-1,05$$

Sur $$\left[0;4\right]$$, la fonction $$f$$ est continue et admet $$1$$ comme minimum. La fonction $$f$$ est strictement positive.
Sur $$\left[-2;0\right]$$, la fonction $$f$$ est continue et strictement croissante et $$f(\alpha) = 0$$
Donc $$f(x)\le0$$ pour tout $$x\in\left[-2;\alpha\right]$$ et $$f(x)\ge0$$ pour tout $$x\in\left[\alpha;0\right]$$
On résume cela dans un tableau de signe :

Ici $$a=-1$$, ce qui donne : $$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$
1^ère étape : calculer $$f\left(1\right)$$
$$f\left(1\right)=2\times1^{3}-6\times1^{2}+9$$
$$f\left(1\right)=5$$
2^ème étape : calculer $$f'\left(1\right)$$
$$f'\left(1\right)=6\times1^{2}-12\times1$$
$$f'\left(1\right)=-6$$
3^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(1\right)$$ et de $$f'\left(1\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$
$$y=-6\times \left(x-1\right)+5$$
$$y=-6x+6+5$$

Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$1$$ est alors $$y=-6x+11$$.