Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 3

Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[-4;4\right]$$, on a : $$f'\left(x\right)=3x^{2} -27$$.

$$f'\left(x\right)=3x^{2} -27$$
Ici la dérivée est une fonction du $$2$$^ème degré.
Pour l'étude du signe de $$3x^{2}-27$$, on va utiliser le discriminant.
Alors $$a=3$$; $$b=0$$ et $$c=-27$$.
Or $$\Delta =b^{2} -4ac$$ donc $$\Delta =324$$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{1} =3$$.
• $$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{2} =-3$$.

Comme $$a=3<0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :

Nous faisons apparaître le zéro recherché dans le tableau de variation donnée. Il vient alors que :

• Sur $$\left[-4;3\right]$$ , la fonction $$f$$ est continue et admet $$48$$ comme minimum.
  La fonction $$f$$ est strictement positive.
  Donc l'équation $$f\left(x\right)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[3;4\right]$$ , la fonction $$f$$ est continue et admet $$-40$$ comme maximum.
  La fonction $$f$$ est strictement négative.
  Donc l'équation $$f\left(x\right)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[-3;3\right]$$ , la fonction $$f$$ est continue et strictement décroissante.
  De plus, $$f\left(-3\right)=58$$ et $$f\left(3\right)=-50$$ .
  Or $$0 \in \left[-50;58\right]$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left[-3;3\right]$$ tel que $$f(x) = 0.$$
  

Finalement, l'équation $$f\left(x\right)=0$$ admet une unique solution sur $$\left[-4;4\right]$$.
A la calculatrice, on vérifie que :
$$f(0,14)\approx0,02227$$ et $$f(0,15)\approx-0,046$$
Or $$0 \in \left[-0,046;0,022227\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : $$0,14\le\alpha\le0,15$$

Sur $$\left[-4;-3\right]$$, la fonction $$f$$ est continue et admet $$48$$ comme minimum. La fonction $$f$$ est strictement positive.
Sur $$\left[3;4\right]$$, la fonction $$f$$ est continue et admet $$-40$$ comme maximum. La fonction $$f$$ est strictement négative.
Sur $$\left[-3;3\right]$$, la fonction $$f$$ est continue et strictement décroissante et $$f(\alpha) = 0$$
Donc $$f(x)\ge0$$ pour tout $$x\in\left[-4;\alpha \right]$$ et $$f(x)\le0$$ pour tout $$x\in\left[\alpha;4\right]$$
On résume cela dans un tableau de signe :

Ici $$a=0$$, ce qui donne, $$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$.
1^ère étape : calculer $$f\left(0\right)$$
$$f\left(0\right)=0^{3} -27\times 0 +4$$
$$f\left(0\right)=4$$
2^ème étape : calculer $$f'\left(0\right)$$
$$f'\left(0\right)=3\times 0^{2} -27$$
$$f'\left(0\right)=-27$$
3^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(0\right)$$ et de $$f'\left(0\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$
$$y=-27\times \left(x-0\right)+4$$
$$y=-27x+4$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$0$$ est alors $$y=-27x+4$$.