Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[0;11\right]$$, on a : $$f'\left(x\right)=-3x^{2} +33x-30$$.

$$f'\left(x\right)=-3x^{2} +33x-30$$
Ici la dérivée est une fonction du $$2$$^ème degré.
Pour l'étude du signe de $$-3x^{2} +33x-30$$, on va utiliser le discriminant.
Alors $$a=-3$$; $$b=33$$ et $$c=-30$$.
Or $$\Delta =b^{2} -4ac$$ donc $$\Delta =729$$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{1} =10$$.
• $$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{2} =1$$.

Comme $$a=-3<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :

La courbe représentative de la fonction $$f$$ admet en deux points $$A$$ et $$B$$ une tangente horizontale lorsque $$f'\left(x\right)=0$$. D'après la question $$2$$, on sait que :
$$f'\left(x\right)=0$$ lorsque $$x=1$$ et $$x=10$$
Par conséquent, pour obtenir les ordonnées de chacun des points il faut calculer $$f\left(1\right)$$ et $$f\left(10\right)$$. Ainsi :
$$f\left(1\right)=95,5$$ et $$f\left(10\right)=460$$
Les coordonnées sont alors : $$A\left(1;95.5\right)$$ et $$B\left(10;460\right)$$.

Nous faisons apparaître la valeur $$200$$ recherché dans le tableau de variation donnée. Il vient alors que :

• Sur $$\left[0;1\right]$$ , la fonction $$f$$ est continue et admet $$110$$ comme maximum.
  Donc l'équation $$f\left(x\right)=200$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[10;11\right]$$ , la fonction $$f$$ est continue et admet $$445$$ comme minimum.
  Donc l'équation $$f\left(x\right)=200$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[1;10\right]$$ , la fonction $$f$$ est continue et strictement croissante.
  De plus, $$f\left(1\right)=95.5$$ et $$f\left(10\right)=460$$ .
  Or $$200 \in \left[95.5;460\right]$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left[1;10\right]$$ tel que $$f(x) = 200.$$
  

Finalement, l'équation $$f\left(x\right)=200$$ admet une unique solution sur $$\left[0;11\right]$$.
A la calculatrice, on vérifie que :
$$f(4,18)\approx199.85$$ et $$f(4,19)\approx200.41$$
Or $$200 \in \left[199.85;200.41\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : $$4,18\le\alpha\le4,19$$.

Pour étudier la convexité de la fonction $$f$$, il faut étudier le signe de $$f''$$.
Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[0;11\right]$$, on a : $$f'\left(x\right)=-3x^{2} +33x-30$$.
Il vient alors que : $$f''\left(x\right)=-6x +33$$.
$$f''$$ est une fonction affine.
Pour étudier son signe on résout l'inéquation $$-6x+33\ge 0$$, il vient alors :
$$-6x+33\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$-6x\ge -33$$
$$x\le \frac{-33}{-6}$$ (on change le sens de l'inéquation car on divise par un nombre négatif)
$$x\le \frac{33}{6}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-6x+33$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$\frac{33}{6}$$.
Il en résulte :

De plus, au point d'abscisse $$x=\frac{33}{6}$$, la dérivée seconde s'annule et change de signe en ce point. Il en résulte qu'au point d'abscisse $$x=\frac{33}{6}$$, la courbe admet un point d'inflexion.