Etude de la convexité avec le calcul de dérivées d'une fonction donnée - Exercice 3

Ici on reconnait la forme : $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=2x^{2} -20x+32$$ et $$v\left(x\right)=x^{2}$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=4x-20$$ et $$v'\left(x\right)=2x$$.
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(4x-20\right)\times x^{2} -\left(2x^{2} -20x+32\right)\times 2x}{\left(x^{2} \right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{4x^{3} -20x^{2} -\left(4x^{3} -40x^{2} +64x\right)}{x^{4} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{4x^{3} -20x^{2} -4x^{3} +40x^{2} -64x}{x^{4} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{20x^{2} -64x}{x^{4} }$$
On factorise par $$x$$ le numérateur.
$$f'\left(x\right)=\frac{x\times \left(20x-64\right)}{x^{4} }$$
On simplifie par $$x$$.
Ainsi :

On dérive : $$f'\left(x\right)=\frac{20x-64}{x^{3} }$$
Ici on reconnait la forme : $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=20x-64$$ et $$v\left(x\right)=x^{3}$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=20$$ et $$v'\left(x\right)=3x^{2}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{20x^{3} -\left(20x-64\right)\times 3x^{2} }{\left(x^{3} \right)^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$f'\left(x\right)=\frac{20x^{3} -\left(60x^{3} -192x^{2} \right)}{\left(x^{3} \right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{20x^{3} -60x^{3} +192x^{2} }{x^{6} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-40x^{3} +192x^{2} }{x^{6} }$$
On factorise par $$x^{2}$$ le numérateur.
$$f'\left(x\right)=\frac{x^{2} \times \left(-40x+192\right)}{x^{6} }$$
On simplifie par $$x^{2}$$.
Ainsi :

Pour $$x\in \left[1;10\right]$$, on a $$x^{4} >0$$, donc le signe de $$f''$$ dépend donc du signe du numérateur.
Pour étudier le signe du numérateur on résout l'inéquation $$-40x+192\ge 0$$, il vient alors :
$$-40x+192\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$-40x\ge -192$$
$$x\le \frac{-192}{-40}$$ (on change le sens de l'inéquation car on divise par un nombre négatif)
$$x\le 4,8$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-40x+192$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$4,8$$.
Il en résulte :

On a vu à la question $$3$$, qu'au point d'abscisse $$4,8$$, la dérivée seconde $$f''$$ s'annule et change de signe.
Donc $$f$$ possède un point d'inflexion au point d'abscisse $$4,8$$.
Pour déterminer ses coordonnées, calculons : $$f\left(4,8\right)$$
$$f\left(4,8\right)=\frac{2\times \left(4,8\right)^{2} -20\times 4,8+32}{\left(4,8\right)^{2} }$$
$$f\left(4,8\right)=-\frac{7}{9}$$
Les coordonnées du point d'inflexion de $$f$$ sont : $$\left(4,8;-\frac{7}{9} \right)$$