Etude de la convexité avec le calcul de dérivées d'une fonction donnée - Exercice 2

$$\red{\text{Calculons d'une part :}}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{1}{12} \times 4x^{3} -3x^{2} +\frac{5}{2} \times 2x$$

$$\red{\text{Calculons d'autre part :}}$$
$$f''\left(x\right)=\frac{1}{3} \times 3x^{2} -6x+5$$

Pour étudier la convexité de la fonction $$f$$, il faut étudier le signe de $$f''$$.
Pour l'étude du signe du trinôme $$x^{2} -6x+5$$, on va utiliser le discriminant.
Nous donnons directement les résultats car le discriminant n'a maintenant plus de secret pour nous.
$$\Delta =16$$ , $$x_{1} =1$$ et $$x_{2} =5$$
Comme $$a=1>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors :

Résolvons :
$$f''\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$x^{2} -6x+5=0$$
A la question $$2$$, on a calculer le discriminant et on a donc les solutions de cette équation.
Ainsi : $$x_{1} =1$$ et $$x_{2} =5$$.
$$f$$ admet deux points d'inflexion respectivement au point d'abscisse $$1$$ et au point d'abscisse $$5$$.
En effet, la dérivée seconde change bien de signe en ces deux points.
Pour déterminer leurs coordonnées, calculons $$f\left(1\right)$$ et $$f\left(5\right)$$.
D'une part :
$$f\left(1\right)=\frac{1}{12} \times 1^{4} -1^{3} +\frac{5}{2} \times 1^{2} +1$$
$$f\left(1\right)=\frac{31}{12}$$
D'autre part :
$$f\left(5\right)=\frac{1}{12} \times 5^{4} -5^{3} +\frac{5}{2} \times 5^{2} +1$$
$$f\left(5\right)=\frac{-113}{12}$$
Le $$1$$^er point d'inflexion a comme coordonnées : $$\left(1;\frac{31}{12} \right)$$ et le $$2$$^ème point d'inflexion a comme coordonnées : $$\left(5;\frac{-113}{12} \right)$$.