Etude de la convexité avec le calcul de dérivées d'une fonction donnée - Exercice 1

$$f'\left(x\right)=-3x^{2} +6x-1$$ et $$f''\left(x\right)=-6x+6$$

Pour étudier la convexité de la fonction $$f$$, il faut étudier le signe de $$f''$$.
$$f''$$ est une fonction affine.
Pour étudier son signe on résout l'inéquation $$-6x+6\ge 0$$, il vient alors :
$$-6x+6\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$-6x\ge -6$$
$$x\le \frac{-6}{-6}$$ (on change le sens de l'inéquation car on divise par un nombre négatif)
$$x\le 1$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-6x+6$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$1$$.
Il en résulte :

Résolvons :
$$f''\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$-6x+6=0$$
$$-6x=-6$$
$$x=\frac{-6}{-6}$$
$$x=1$$
$$f$$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $$1$$. En effet, d'après la question précédente, la dérivée seconde change bien de signe en $$1$$.
Pour déterminer ses coordonnées, calculons $$f\left(1\right)$$.
$$f\left(1\right)=-1^{3} +3\times 1^{2} -1+1$$
$$f\left(1\right)=2$$
Les coordonnées du point d'inflexion de $$f$$ sont $$\left(1;2\right)$$.