Convexité et lecture graphique - Exercice 6

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Question 1
On considère une fonction ff définie sur [−3;5]\left[-3;5\right] et deux fois dérivable.
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f′′f'', dérivée seconde de la fonction ff, dans un repère orthonormé.

La courbe représentative de ff admet-elle des points d'inflexion ?

Correction
  • ff possède un point d'inflexion lorsque sa dérivée seconde s'annule et change de signe en ce point.
Résolvons graphiquement : f′′(x)=0f''\left(x\right)=0.
Les solutions de f′′(x)=0f''\left(x\right)=0 sont donc x=−2x=-2 et x=1x=1. Il s'agit des points d'intersections entre la courbe et l'axe des abscisses.
Au point d'abscisse x=5x=5 , on a bien f′′(x)=0f''\left(x\right)=0 mais nous se savons pas ce qui se passe lorsque x>5x>5.
Question 2

Sur quels intervalles, la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ?

Correction
Pour étudier la convexité de la fonction ff, il faut étudier le signe de f′′f''.
  • Lorsque f′′(x)≥0f''\left(x\right)\ge 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est convexe.
  • Lorsque f′′(x)≤0f''\left(x\right)\le 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est concave.
D'après le graphique, on voit que :
f′′(x)≤0f''\left(x\right)\le 0 sur un intervalle [−3;−2]∪[1;5]\left[-3;-2\right]\cup \left[1;5\right]
f′′(x)≥0f''\left(x\right)\ge 0 sur un intervalle [−2;1]\left[-2;1\right]
On résume cela dans un tableau :

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