Continuité, dérivation, lectures graphiques et convexité
Convexité et lecture graphique - Exercice 6
10 min
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Question 1
On considère une fonction f définie sur [−3;5] et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f′′, dérivée seconde de la fonction f, dans un repère orthonormé.
La courbe représentative de f admet-elle des points d'inflexion ?
Correction
f possède un point d'inflexion lorsque sa dérivée seconde s'annule et change de signe en ce point.
Résolvons graphiquement : f′′(x)=0. Les solutions de f′′(x)=0 sont donc x=−2 et x=1. Il s'agit des points d'intersections entre la courbe et l'axe des abscisses. Au point d'abscisse x=5 , on a bien f′′(x)=0 mais nous se savons pas ce qui se passe lorsque x>5.
Question 2
Sur quels intervalles, la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ?
Correction
Pour étudier la convexité de la fonction f, il faut étudier le signe de f′′.
Lorsque f′′(x)≥0 sur un intervalle [a,b] alors f est convexe.
Lorsque f′′(x)≤0 sur un intervalle [a,b] alors f est concave.
D'après le graphique, on voit que : f′′(x)≤0 sur un intervalle [−3;−2]∪[1;5] f′′(x)≥0 sur un intervalle [−2;1] On résume cela dans un tableau :