Convexité et lecture graphique - Exercice 5

$$\red{\text{ D'une part :}}$$
$$f'\left(-1\right)$$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$-1$$. La tangente est horizontale. Cela signifie que le coefficient directeur est nul.
Ainsi :
$$\red{\text{ D'autre part :}}$$
$$f'\left(1\right)$$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$1$$. La tangente est horizontale. Cela signifie que le coefficient directeur est nul.
Ainsi :
$$\red{\text{ Enfin :}}$$
$$f'\left(0\right)$$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$0$$.
Les points $$A\left(0;1\right)$$ et $$B\left(-1;4\right)$$ appartiennent à cette tangente.
A l'aide du point $$A$$ et du point $$B$$ on va pouvoir donner le coefficient directeur de la tangente.
$$f'\left(0\right)=\frac{y_{B} -y_{A} }{x_{B} -x_{A} }$$
$$f'\left(0\right)=\frac{4-1}{-1-0}$$
Ainsi :

On remarque que sur l'intervalle $$\left[-2;0\right]$$ , les tangentes se situent au-dessus de la courbe, cela signifie que sur $$\left[-2;0\right]$$ la courbe $$f$$ est concave.
De plus, on remarque que sur l'intervalle $$\left[0;2\right]$$ , les tangentes se situent en dessous de la courbe , cela signifie que sur $$\left[0;2\right]$$ la courbe $$f$$ est convexe.
Il en résulte qu'au point d'abscisse $$x=0$$, la courbe $$f$$ admet un point d'inflexion.