Convexité et lecture graphique - Exercice 4

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Question 1
On considère une fonction ff définie sur [−2;4]\left[-2;4\right] et deux fois dérivable.
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f′f' , dérivée de ff, dans un repère orthonormé.
On note f′′f'' sa dérivée seconde.

Etudier la convéxité de ff.

Correction
  • Lorsque f′f' est croissante sur [a,b]\left[a,b\right] alors ff est convexe sur [a,b]\left[a,b\right].
  • Lorsque f′f' est décroissante sur [a,b]\left[a,b\right] alors ff est concave sur [a,b]\left[a,b\right]. .

D'après la représentation graphique, on vérifie facilement que :
f′f' est croissante sur l'intervalle [−2;1]\left[-2;1\right] ainsi ff est convexe sur l'intervalle [−2;1]\left[-2;1\right].
f′f' est décroissante sur l'intervalle [1;4]\left[1;4\right] ainsi ff est concave sur l'intervalle [1;4]\left[1;4\right].
On traduit cela dans un tableau ci-dessous :
De plus, au point d'abscisse x=1x=1 , la courbe ff admet un point d'inflexion qui traduit le fait que : f′′(1)=0f''\left(1\right)=0

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