Continuité, dérivation, lectures graphiques et convexité

Convexité et lecture graphique - Exercice 2

15 min
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On considère une fonction ff définie sur [−2;5]\left[-2;5\right] et deux fois dérivable.
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction C\mathscr{C}dans un repère orthonormé.
On note f′f' sa dérivée et f′′f'' sa dérivée seconde.
Question 1

Par lecture graphique, donner f′(0)f'\left(0\right)

Correction
f′(0)f'\left(0\right) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 00. (Ici la tangente est en rouge)
Les points A(0;4)A\left(0;4\right) et B(2;0)B\left(2;0\right) appartiennent à cette tangente.
A l'aide du point AA et du point BB on va pouvoir donner le coefficient directeur de la tangente.
f′(0)=yB−yAxB−xAf'\left(0\right)=\frac{y_{B} -y_{A} }{x_{B} -x_{A} }
f′(0)=0−42−0f'\left(0\right)=\frac{0-4}{2-0}
Ainsi :
f′(0)=−2f'\left(0\right)=-2
Question 2

Indiquer sur quel intervalle ff est convexe.

Correction
  • ff est convexe sur [a;b]\left[a;b\right] si et seulement si sa courbe est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.
  • ff est concave sur [a;b]\left[a;b\right] si et seulement si sa courbe est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.
D'après le graphique, ff est convexe sur [0;5]\left[0;5\right]
Question 3

Résoudre f′(x)≤0f'\left(x\right)\le 0

Correction
  • Lorsque ff est décroissante [a;b]\left[a;b\right] alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le 0.
  • Lorsque ff est croissante [a;b]\left[a;b\right] alors f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0.

On dresse le tableau de variation de ff et on obtiendra le signe de f′f'.
Donc f′(x)≤0f'\left(x\right)\le 0 sur l'intervalle [−1;5]\left[-1;5\right]
Question 4

Résoudre f′′(x)=0f''\left(x\right)=0

Correction
On recherche ici le ou les points d'inflexion.
Dans notre exemple, nous avons un point d'inflexion au point d'abscisse 00.
En effet, en ce point la courbe change de convexité.
Elle est concave sur [−2;0]\left[-2;0\right] et elle est convexe sur [0;5]\left[0;5\right].
Ainsi : f′′(x)=0f''\left(x\right)=0 pour x=0x=0.
Question 5

Indiquer sur quel intervalle f′f' est décroissante.

Correction
  • Si ff est convexe sur [a;b]\left[a;b\right] alors f′f' est croissante [a;b]\left[a;b\right]
  • Si ff est concave sur [a;b]\left[a;b\right] alors f′f' est décroissante [a;b]\left[a;b\right]

C'est équivalent de dire également :
  • Si f′f' est croissante [a;b]\left[a;b\right] alors ff est convexe sur [a;b]\left[a;b\right]
  • Si f′f' est décroissante [a;b]\left[a;b\right] alors ff est concave sur [a;b]\left[a;b\right]
On a vu à la question 44 que : ff est concave sur [−2;0]\left[-2;0\right] et ff est convexe sur [0;5]\left[0;5\right].
Il en résulte que :
Finalement : f′f' est décroissante sur [−2;0]\left[-2;0\right]