Succession d'épreuves indépendantes et loi binomiale

Loi binomiale - Exercice 4

10 min
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Une urne contient 100100 boules (indiscernables au toucher) : 4040 boules sont rouges et les autres sont noires. On tire successivement 7070 boules de l’urne en remettant la boule à chaque tirage.
Question 1

Quel nombre moyen de boules rouges peut-on espérer? Avec quelle variance et quel écart type?

Correction
On tire une boule de l’urne, on appelle succès le tirage d’une boule rouge donc p=0,4p = 0,4. On réitère 7070 fois cette expérience de façon identique et indépendante et l’on appelle XX le nombre de boules rouges obtenus. XX suit alors la loi binomiale B(70;0,4)B\left(70; 0,4\right).
XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p)B\left(n, p\right), alors l’espérance mathématique E(X)E\left(X\right), la variance V(X)V\left(X\right) et l’écart type σ(X)\sigma\left(X\right) sont égales à :
  • E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p
  • V(X)=n×p×(1−p)V\left(X\right)=n\times p\times \left(1-p\right)
  • σ(X)=V(X)=n×p×(1−p)\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} =\sqrt{n\times p\times \left(1-p\right)}
    • Ainsi :
    E(X)=70×0,4E\left(X\right)=70\times 0,4 donc
    E(X)=28E\left(X\right)=28

    V(X)=70×0,4×(1−0,4)V\left(X\right)=70\times 0,4\times \left(1-0,4\right) d'où :
    V(X)=16,8V\left(X\right)=16,8

    σ(X)=16,8\sigma \left(X\right)=\sqrt{16,8} d'où :
    σ(X)≈4,1\sigma \left(X\right)\approx4,1

    On tire en moyenne 2828 boules rouges avec un écart moyen de 4,14,1.