Loi binomiale - Exercice 3

On remplit l'arbre pondéré avec les données de l'exercice.

$$V_{1} ,R_{1}$$ et $$B_{1}$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
Calculons $$P\left(H\right)=P\left(B_{1} \cap B_{2} \right)$$
$$P\left(H\right)=P\left(B_{1} \right)\times P_{B_{1} } \left(B_{2} \right)$$
$$P\left(H\right)=\frac{1}{2} \times \frac{3}{4}$$ d'où
On a trois chances sur $$8$$ de tirer deux boules bleues.

Pour avoir une boule rouge, il y a deux possibilités :
- soit en $$1$$^er on tire une rouge puis ensuite une bleue.
- soit en $$1$$^er on tire une bleue puis ensuite une rouge.
Ainsi,
$$P\left(J\right)=P\left(R_{1} \cap B_{2} \right)+P\left(B_{1} \cap R_{2} \right)$$ équivaut successivement à
$$P\left(J\right)=P\left(R_{1} \right)\times P_{R_{1} } \left(B_{2} \right)+P\left(B_{1} \right)\times P_{B_{1} } \left(R_{2} \right)$$
$$P\left(J\right)=\frac{1}{8} \times \frac{3}{4} +\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}$$

On a $$7$$ chances sur $$32$$ de tirer une boule rouge.

Notons $$T$$ l'évènement deux boules sont rouges et $$J$$ l'évènement une boule est rouge.
Nous avons déjà calculé $$P\left(J\right)$$ à la question $$3$$.
Calculons,
$$P\left(T\right)=P\left(R_{1} \cap R_{2} \right)$$ équivaut successivement à
$$P\left(T\right)=P\left(R_{1} \right)\times P_{R_{1} } \left(R_{2} \right)$$
$$P\left(T\right)=\frac{1}{8} \times \frac{1}{4}$$

Le gain du joueur est la somme reçue moins sa mise.
Ainsi, $$X$$ prendra les valeurs $$X=\left\{8;2;-1\right\}$$
On va traduire ces informations dans un tableau que l'on appellera loi de probabilité :
Pour obtenir $$P\left(X=-1\right)$$ , on sait que $$P\left(X=-1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=8\right)=1$$
Soit $$P\left(X=-1\right)=1-P\left(X=2\right)-P\left(X=8\right)$$
Ainsi :

Il en résulte que :
$$E\left(X\right)=8\times \frac{1}{32} +2\times \frac{7}{32} +\left(-1\right)\times \frac{3}{4}$$
Soit : $$E\left(X\right)=-\frac{1}{16}$$ c'est-à-dire :
En moyenne le joueur perdra $$0,0625$$€ par partie en jouant un très grand nombre de fois.

$$\purple{\text{Rédaction type pour la loi binomiale :}}$$

Il vient alors que :
$$p_{n} =P\left(Y\ge 1\right)$$ , on va utiliser l'évènement contraire, ce qui donne :
$$p_{n} =1-P\left(Y=0\right)$$
$$p_{n} =1-\left(\begin{array}{c} {n} \\ {0} \end{array}\right)\times \left(\frac{5}{8} \right)^{0} \times \left(1-\frac{5}{8} \right)^{n}$$
$$p_{n} =1-\left(\frac{3}{8} \right)^{n}$$
On rappelle que $$\left(\begin{array}{c} {n} \\ {0} \end{array}\right)=1$$ et $$\left(\frac{5}{8} \right)^{0} =1$$

D'après la question précédente, nous avons montré que : $$p_{n} =1-\left(\frac{3}{8} \right)^{n}$$
On sait que $$-1<\frac{3}{8} <1$$ donc $$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{3}{8} \right)^{n} =0$$
Il en résulte que :

A l'aide de la calculatrice, à partir de $$n=8$$ , on a $$p_{n} \ge 0,999$$
$$\red{\text{ Nota Bene :}}$$
Il est aussi possible de répondre à cette question en utilisant le logarithme (à ne prendre en compte que si tu l'as vu avec ton enseignant, mais au bac, cette question est souvent demandé).
$$p_{n} \ge 0,999$$ équivaut successivement à
$$1-\left(\frac{3}{8} \right)^{n} \ge 0,999$$
$$-\left(\frac{3}{8} \right)^{n} \ge 0,999-1$$
$$-\left(\frac{3}{8} \right)^{n} \ge -10^{-3}$$
$$\left(\frac{3}{8} \right)^{n} \le 10^{-3}$$
$$\ln \left(\frac{3}{8} \right)^{n} \le \ln \left(10^{-3} \right)$$ car $$A\le B\Leftrightarrow \ln \left(A\right)\le \ln \left(B\right)$$
$$n\times \ln \left(\frac{3}{8} \right)\le \ln \left(10^{-3} \right)$$
$$n\ge \frac{\ln \left(10^{-3} \right)}{\ln \left(\frac{3}{8} \right)}$$ , on a changé le sens de l'inéquation car $$\ln \left(\frac{3}{8} \right)\le 0$$
On cherche la valeur de $$\frac{\ln \left(10^{-3} \right)}{\ln \left(\frac{3}{8} \right)}$$à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
(à la calculatrice on obtient $$\frac{\ln \left(10^{-3} \right)}{\ln \left(\frac{3}{8} \right)} \approx 7,04$$ et on arrondi à l'entier supérieur).