Succession d'épreuves indépendantes et loi binomiale

Loi binomiale

Exercice 1

1

Une urne dispose de 55 boules rouges et 44 boules blanches.
On tire successivement et avec remise 77 boules.
Quelle est la probabilité de tirer exactement 22 blanches ?

Correction
2

On lance un dé 1010 fois.
Quelle est la probabilité de tirer au moins un chiffre supérieur ou égal à 55 ?

Correction

Exercice 2

1

Dans un examen sous forme de QCM, il y a deux réponses possibles : Vrai ou Faux.
Quelle est la probabilité d'avoir 44 bonnes réponses sur 1111 ?

Correction
2

Lors de la session 20162016 au baccalauréat, il y a eu 8888% de réussite.
Dans une classe composée de 3030 élèves, quelle est la probabilité qu’il y ait au moins 2525 élèves à avoir le bac.

Correction

Exercice 3

Dans une fête foraine, un organisateur de jeux dispose de 22 urnes comportant chacune 88 boules.
L'urne AA comporte 33 boules vertes, 11 boule rouge et 44 boules bleues.
L'urne BB comporte 66 boules bleues et 22 boules rouges.
Le déroulement du jeu est le suivant :
Le joueur tire une boule de l'urne AA :
  • S'il tombe sur une boule verte le jeu s'arrête.
  • S'il tombe sur une boule rouge ou bleue, il tire une boule de l'urne BB.
On note :
  • V1 l'événement : "la boule est verte lors du premier tirage dans l'urne".
  • R1 l'événement : "la boule est rouge lors du premier tirage dans l'urne".
  • B1 l'événement : "la boule est bleue lors du premier tirage dans l'urne".
  • R2 l'événement : "la boule est rouge lors du deuxième tirage dans l'urne".
  • B2 l'événement : "la boule est bleue lors du deuxième tirage dans l'urne".
1

Construire un arbre pondéré résumant la situation.

Correction
2

Calculer la probabilité de l'évènement HH "tirer deux boules bleues"

Correction
3

Calculer la probabilité de l'évènement JJ "tirer une boule rouge"

Correction
4

Si les deux boules sont rouges, le joueur gagne 99€, si une boule est rouge, il gagne 33€, sinon il ne gagne rien.
Le joueur mise 11€. Soit XX la variable aléatoire représentant le gain du joueur.
Déterminer la loi de probabilité de XX.

Correction
5

Calculer l'espérance mathématiques de XX et en donner une interprétation.

Correction
Le joueur décide de faire nn parties consécutives supposées indépendantes (n2)\left(n\ge 2\right).
6

Justifier que la probabilité qu'il tire au moins une fois une boule de la deuxième urne est pn=1(38)np_{n} =1-\left(\frac{3}{8} \right)^{n}

Correction
7

Déterminer la limite de la suite (pn)\left(p_{n} \right)

Correction
8

A l'aide de la calculatrice, déterminer la plus petite valeur de nn telle que pn0,999p_{n} \ge 0,999.

Correction

Exercice 4

Une urne contient 100100 boules (indiscernables au toucher) : 4040 boules sont rouges et les autres sont noires. On tire successivement 7070 boules de l’urne en remettant la boule à chaque tirage.
1

Quel nombre moyen de boules rouges peut-on espérer? Avec quelle variance et quel écart type?

Correction

Exercice 5

1

Une espérance aléatoire XX suit une loi binomiale B(n;p)B\left(n; p\right). Son espérance vaut 1,81,8 et son écart-type vaut 1,21,2.
Déterminer nn et pp.

Correction
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