Succession d'épreuves indépendantes et loi binomiale

Intervalle de fluctuation centré au seuil de 1−α1-\alpha - Exercice 1

5 min
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On considère une variable aléatoire XX suivant la loi binomiale de paramètres n=50n=50 et p=0,45p=0,45 .
Question 1

L'intervalle [16;29]\left [16;29\right] est-il un intervalle de fluctuation centré au seuil de 95%95\% ?

Correction
  • Soient aa et bb deux réels .
  • Soit α\alpha un réel tel que α∈]0;1[\alpha \in \left]0;1\right[
  • Soit XX une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres nn et pp .
    • Si P(X<a)≤α2P\left(X<a\right)\le \frac{\alpha }{2} et P(X>b)≤α2P\left(X>b\right)\le \frac{\alpha }{2} alors l'intervalle [a;b]\left[a;b\right] est un intervalle de fluctuation centreˊ\red{\text{ fluctuation centré}} au seuil de 1−α1-\alpha
    Il faut que 1−α=95%1-\alpha=95\% autrement dit 1−α=0,951-\alpha=0,95
    Nous allons pouvoir déterminer dans un premier temps la valeur de α\alpha .
    1−α=0,95⇔−α=0,95−1⇔−α=−0,05⇔α=0,051-\alpha =0,95\Leftrightarrow -\alpha =0,95-1\Leftrightarrow -\alpha =-0,05\Leftrightarrow \alpha =0,05
    Maintenant, calculons α2\frac{\alpha }{2}
    α2=0,052=0,025\frac{\alpha }{2} =\frac{0,05}{2} =0,025
    Calculons maintenant :\red{\text{Calculons maintenant :}} P(X<16)P\left(X<16\right)
    P(X<16)=P(X≤15)P\left(X<16\right)=P\left(X \le15\right) et d'après la calculatrice : P(X≤15)≈0,022P\left(X \le15\right)\approx 0,022 ainsi P(X<16)≤0,025P\left(X<16\right) \le 0,025 .
    Calculons enfin :\red{\text{Calculons enfin :}} P(X>29)P\left(X>29\right)
    P(X>29)=1−P(X≤29)P\left(X>29\right)=1-P\left(X \le 29\right) et d'après la calculatrice : 1−P(X≤29)≈0,0241-P\left(X \le29\right)\approx 0,024 ainsi P(X>29)≤0,025P\left(X>29\right) \le 0,025
    Donc l'intervalle [16;29]\left [16;29\right] est un intervalle de fluctuation centré au seuil de 95%95\% .
    La question l'intervalle [16;29]\left [16;29\right] est-il un intervalle de fluctuation centré au seuil de 95%95\% peut être également posé sous la forme suivante :
    L'intervalle [16;29]\left [16;29\right] est-il un intervalle de fluctuation centré au risque de 5%5\% ? Dans cette formulation la valeur de α\alpha est alors α=0,05\alpha=0,05