Succession d'épreuves indépendantes et loi binomiale

Exercices types : 33ème partie

Exercice 1

Victor a téléchargé un jeu sur son téléphone.
Le but de ce jeu est d’affronter des obstacles à l’aide de personnages qui peuvent être de trois types : «Terre», «Air» ou «Feu».
Au début de chaque partie, Victor obtient de façon aléatoire un personnage d’un des trois types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage. Le jeu a été programmé de telle sorte que :
  • la probabilité que la partie débute avec un personnage de type «Terre» est 0,30,3 ;
  • la probabilité que la partie débute avec un personnage de type «Air» est 0,50,5 ;
  • si la partie débute avec un personnage de type «Terre», la probabilité que celui-ci soit conservé est 0,50,5;
  • si la partie débute avec un personnage de type «Air», la probabilité que celui-ci soit conservé est 0,40,4 ;
  • si la partie débute avec un personnage de type «Feu», la probabilité que celui-ci soit conservé est 0,90,9 .
  • On note les évènements suivants :
  • TT : la partie débute avec un personnage de type «Terre» ;
  • AA : lapartie débuteavec un personnage de type «Air» ;
  • FF : lapartie débute avec un personnage de type «Feu» ;
  • CC : Victor conserve le même personnage tout au long de la partie.
  • 1

    Dresser l'arbre pondéré traduisant la situation.

    Correction
    2

    Calculer la probabilité que Victor obtienne et conserve un personnage de type «Air» .

    Correction
    3

    Justifier que la probabilité que Victor conserve le personnage obtenu en début de partie est 0,530,53.

    Correction
    4

    On considère une partie au cours de laquelle Victor a conservé le personnage obtenu en début de partie. Quelle est la probabilité que ce soit un personnage de type «Air»?

    Correction
    On considère 1010 parties jouées par Victor, prises indépendamment les unes des autres. On rappelle que la probabilité que Victor obtienne un personnage de type «Terre» est 0,30,3 .
    XX désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de personnages de type «Terre» obtenus au début de ses 1010 parties.
    5

    Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres

    Correction
    6

    Calculer la probabilité que Victor ait obtenu exactement 33 personnages de type «Terre» au début de ses 1010 parties.

    Correction
    7

    Calculer la probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type «Terre» au début de ses 1010 parties

    Correction
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