Nouveau

🔥 Découvre nos fiches d'exercices gratuites avec corrections en vidéo !Accéder aux fiches  →

Succession d'épreuves indépendantes et loi binomiale

Exercices types : 33ème partie - Exercice 1

25 min
40
Victor a téléchargé un jeu sur son téléphone.
Le but de ce jeu est d’affronter des obstacles à l’aide de personnages qui peuvent être de trois types : «Terre», «Air» ou «Feu».
Au début de chaque partie, Victor obtient de façon aléatoire un personnage d’un des trois types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage. Le jeu a été programmé de telle sorte que :
  • la probabilité que la partie débute avec un personnage de type «Terre» est 0,30,3 ;
  • la probabilité que la partie débute avec un personnage de type «Air» est 0,50,5 ;
  • si la partie débute avec un personnage de type «Terre», la probabilité que celui-ci soit conservé est 0,50,5;
  • si la partie débute avec un personnage de type «Air», la probabilité que celui-ci soit conservé est 0,40,4 ;
  • si la partie débute avec un personnage de type «Feu», la probabilité que celui-ci soit conservé est 0,90,9 .
    • On note les évènements suivants :
  • TT : la partie débute avec un personnage de type «Terre» ;
  • AA : lapartie débuteavec un personnage de type «Air» ;
  • FF : lapartie débute avec un personnage de type «Feu» ;
  • CC : Victor conserve le même personnage tout au long de la partie.
    • Question 1

    Dresser l'arbre pondéré traduisant la situation.

    Correction
    Question 2

    Calculer la probabilité que Victor obtienne et conserve un personnage de type «Air» .

    Correction
    Victor obtienne et conserve un personnage de type «Air» correspond à l’événement A∩CA\cap C.
    Il en résulte que :
    P(A∩C)=P(A)×PA(C)P\left(A\cap C\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(C\right)
    P(A∩C)=0,5×0,4P\left(A\cap C\right)=0,5\times 0,4
    P(A∩C)=0,2P\left(A\cap C\right)=0,2
    Question 3

    Justifier que la probabilité que Victor conserve le personnage obtenu en début de partie est 0,530,53.

    Correction
    Les évènements TT; AA et FF forment une partition de l'univers.
    D'après la formule des probabilités totales, on a :
    P(C)=P(T∩C)+P(A∩C)+P(F∩C)P\left(C\right)=P\left(T \cap C\right)+P\left(A \cap C\right)+P\left(F \cap C\right) équivaut successivement à :
    P(C)=P(T)×PT(C)+P(A)×PA(C)+P(F)×PF(C)P\left(C\right)=P\left(T\right)\times P_{T} \left(C\right)+P\left(A\right)\times P_{A} \left(C\right)+P\left(F\right)\times P_{F} \left(C\right)
    P(C)=0,3×0,5+0,5×0,4+0,2×0,9P\left(C\right)= 0,3\times 0,5+0,5\times 0,4+0,2\times 0,9
    P(C)=0,53P\left(C\right)=0,53

    Question 4

    On considère une partie au cours de laquelle Victor a conservé le personnage obtenu en début de partie. Quelle est la probabilité que ce soit un personnage de type «Air»?

    Correction
    Il s'agit ici d'une forme avec un "sachant" c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
    On pourrait traduire la question de la manière suivante ; sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que Victor a conservé le personnage en début de partie, quelle est la probabilité que ce soit un personnage de type «Air».
    • PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    Il vient alors que :
    PC(A)=P(A∩C)P(C)P_{C} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap C\right)}{P\left(C\right)}
    PC(A)=P(A)×PA(C)P(C)P_{C} \left(A\right)=\frac{P\left(A\right)\times P_{A} \left(C\right)}{P\left(C\right)}
    PC(A)=0,5×0,40,53P_{C} \left(A\right)=\frac{0,5\times 0,4}{0,53} d'où :
    PC(A)≈0,38P_{C} \left(A\right)\approx 0,38
    Question 5
    On considère 1010 parties jouées par Victor, prises indépendamment les unes des autres. On rappelle que la probabilité que Victor obtienne un personnage de type «Terre» est 0,30,3 .
    XX désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de personnages de type «Terre» obtenus au début de ses 1010 parties.

    Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres

    Correction
    A chaque partie la probabilité d'obtenir un personnage de type «Terre» 0,30,3
    On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli :
    On appelle succès "obtenir un personnage de type «Terre» " avec la probabilité p=0,3p=0,3
    On appelle échec "ne pas obtenir un personnage de type «Terre»" avec la probabilité 1−p=0,71-p=0,7
    On répète dix{\color{blue}{\text{dix}}} fois de suite cette expérience de façon indépendante.
    XX est la variable aléatoire qui associe le nombre de ballons conformes dans l'échantillon.
    XX suit la loi binomiale de paramètre n=10n=10 et p=0,3p=0,3
    On note alors X∼B(10;0,3)X \sim B\left(10;0,3 \right)
    Question 6

    Calculer la probabilité que Victor ait obtenu exactement 33 personnages de type «Terre» au début de ses 1010 parties.

    Correction
    Pour le calcul de P(X=3)P\left(X=3\right),
  • Avec une Texas :\red{\text{Avec une Texas :}} pour P(X=3)P\left(X=3\right) on tape : (cf. fiche Utiliser la loi binomiale avec une Texas)
    2nd - DISTR -- puis choisir
    • BinomFdp(valeur de nn, valeur de pp, valeur de kk) c'est-à-dire ici : BinomFdp(1010; 0,30,3 ; 33) puis taper sur enter et on obtient :
    P(X=3)≈0,27P\left(X=3\right)\approx 0,27
    arrondi à 10−310^{-3} près.
    Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp.
  • Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modeˋle supeˊrieur :\red{\text{Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modèle supérieur :}} pour P(X=3)P\left(X=3\right) on tape : (cf. fiche Utiliser la loi binomiale avec une Casio)
    • Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.
    On remplit le tableau de la manière qui suit :
    D.P. Binomiale
    Data Variable
    xx : 33 Valeur de kk
    Numtrial : 1010 Valeur de nn
    pp : 0,30,3 Valeur de pp

    Puis taper sur EXE et on obtient :
    P(X=3)≈0,27P\left(X=3\right)\approx 0,27
    arrondi à 10−310^{-3} près.
    Question 7

    Calculer la probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type «Terre» au début de ses 1010 parties

    Correction
    On doit calculer P(X≥1)P\left(X\ge 1\right).
    • P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)
    Pour le calcul de P(X=0)P\left(X=0\right),
    Avec une Texas :\red{\text{Avec une Texas :}} on tape pour P(X=0)P\left(X=0\right) (cf. fiche Utiliser la loi binomiale avec une Texas)
    2nd - DISTR -- puis choisir
    BinomFdp(valeur de n, valeur de p, valeur de k) c'est-à-dire ici BinomFdp(1010, 0.30.3 , 00) puis taper sur enter et on obtient :
    P(X=0)≈0,03P\left(X=0\right)\approx 0,03
    arrondi à 10−310^{-3} près.
    Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp.
    Enfin : P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)
    Soit : P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)
    D'où : P(X≥1)≈1−0,03≈0,97P\left(X\ge 1\right)\approx 1-0,03\approx 0,97 arrondi à 10−210^{-2} près.
    Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modeˋle supeˊrieur :\red{\text{Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modèle supérieur :}} on tape pour P(X=0)P\left(X=0\right) (cf. fiche Utiliser la loi binomiale avec une Casio)
    Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.
    On remplit le tableau de la manière qui suit :
    D.P. Binomiale
    Data Variable
    xx : 00 Valeur de k
    Numtrial : 1010 Valeur de nn
    pp : 0,30,3 Valeur de pp

    Puis taper sur EXE et on obtient :
    P(X=0)≈0,3P\left(X=0\right)\approx 0,3
    arrondi à 10−310^{-3} près.
    Enfin : P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)
    Soit : P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)
    D'où : P(X≥1)≈1−0,03≈0,97P\left(X\ge 1\right)\approx 1-0,03\approx 0,97 arrondi à 10−210^{-2} près.