Succession d'épreuves indépendantes et loi binomiale

Exercices types : 22ème partie

Exercice 1

Une usine fabrique des étuis en cuir pour téléphone mobile. Chaque étui produit est soumis à deux contrôles :
  • Un contrôle de qualité de finition : l’étui ne doit pas présenter de défaut définition
  • Un contrôle de solidité : l'étui est exclu de la vente s'il n'est pas solide.
  • Il s'avère, à la suite d'un grand nombre de vérifications, que :
  • 9494% des étuis sont sans défaut de fabrication; parmi les étuis qui sont dans défaut de définition, 9696% réussissent le test de solidité.
  • 22% des étuis ne satisfont à aucun des deux contrôles.
  • On prend au hasard un étui parmi les étuis produits. On note :
  • FF l'évènement : " l'étui est sans défaut de finition "
  • SS l'évènement : " l'étui réussit le rest de solidité "
  • 1

    En utilisant l'énoncé, préciser : P(F)P\left(F\right) ; PF(S)P_{F} \left(S\right) et P(FS)P\left(\overline{F}\cap \overline{S}\right)

    Correction
    2

    Démontrer que : PF(S)=13P_{\overline{F}} \left(\overline{S}\right)=\frac{1}{3}

    Correction
    3

    Donner au complet l'arbre pondéré correspondant à cette situation.

    Correction
    4

    Démontrer que P(S)=0,9424P\left(S\right)=0,9424

    Correction
    5

    Un étui a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu'il soit sans défaut de finition. On donnera le résultat arrondi au dix-millième.

    Correction
    Les étuis ayant satisfait les deux contrôles rapportent un bénéfice de 55 euros, ceux qui n'ont pas satisfait au test de solidité ne rapportent rien. Les autres étuis rapportent un bénéfice de 33 euros.
    On désigne par YY la variable aléatoire qui associe à chaque étui le bénéfice rapporté.
    6

    Déterminer la loi de probabilité de la variable YY.

    Correction
    7

    Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire YY et interpréter le résultat.

    Correction
    On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de 2020 étuis. On désigne par XX la variable aléatoire égale au nombre d'étuis de ce lot ne réussissant pas le test de solidité.
    On suppose que la quantité fabriquée est suffisamment importante pour que la constitution de ce lot puisse être assimilée à un tirage avec remise.
    8

    Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire XX et préciser ses paramètres.

    Correction
    9

    Calculer au millième près, la probabilité qu'au moins 22 étuis du lot ne passent pas le test de solidité.

    Correction

    Exercice 2

    Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif. L’enquête révèle que 7070% des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, 8080% pratiquent le tri sélectif. Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 1010% qui pratiquent le tri sélectif.
    On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :
  • SS : L’élève interrogé est sensible au développement durable.
  • TT : L’élève interrogé pratique le tri sélectif.
  • Les résultats seront arrondis à 10210^{-2}
    1

    Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

    Correction
    2

    Calculer la probabilité que l’élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.

    Correction
    3

    Montrer que la probabilité P(T)P\left(T\right) de l’évènement TT est 0,590,59.

    Correction
    4

    On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif. Peut-on affirmer que les chances qu’il se dise sensible au développement durable sont inférieures à 1010%?

    Correction
    On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l’établissement. Soit XX la variable aléatoire qui donne le nombre d’élèves pratiquant le tri sélectif parmi les 44 élèves interrogés.
    5

    Définir la loi XX et indiquer ses paramètres.

    Correction
    6

    Calculer la probabilité qu’aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif.

    Correction
    7

    Calculer la probabilité qu’au moins deux des quatre élèves interrogés pratiquent le tri sélectif.

    Correction

    Exercice 3

    PARTIE A
    L’entreprise produit 4040% de ballons de football de petite taille et 6060% de ballons de taille standard. On admet que 22% des ballons de petite taille et 55% des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l’entreprise. On considère les évènements :
  • AA : « le ballon de football est de petite taille »,
  • BB : « le ballon de football est de taille standard »,
  • CC : « le ballon de football est conforme à la réglementation» et C\overline{C}, l’évènement contraire de CC.
  • 1

    Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilités.

    Correction
    2

    Calculer la probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la réglementation.

    Correction
    3

    Montrer que la probabilité de l’évènement CC est égale à 0,9620,962.

    Correction
    4

    Le ballon de football choisi n’est pas conforme à la réglementation. Quelle est la probabilité que ce ballon soit de petite taille? On arrondira le résultat à 10310^{-3} près.

    Correction
    PARTIE B
    On prélève au hasard un échantillon de 5050 ballons dans la production de cette entreprise. La production est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. Soit XX la variable aléatoire qui donne le nombre de ballons conformes de l'échantillon.
    5

    Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire XX. Préciser ses paramètres.

    Correction
    6

    Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement 4949 ballons conformes? On arrondira le résultat à 10310^{-3} près.

    Correction
    7

    Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte au moins 4848 ballons conformes? On arrondira le résultat à 10310^{-3} près.

    Correction
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