Succession d'épreuves indépendantes et loi binomiale

Epreuve d'enseignement de spécialité Session 15 Mars 2021 sujet 2 Exercice 1 : Probabilités conditionnelles et loi binomiale - Exercice 1

20 min
40
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Partie 1.\red{\text{Partie 1.}}
Dans un centre de traitement du courrier, une machine est équipée d’un lecteur optique automatique de reconnaissance de l’adresse postale.
Ce système de lecture permet de reconnaître convenablement 97%97\% des adresses; le reste du courrier, que l’on qualifiera d’illisible pour la machine, est orienté vers un employé du centre chargé de lire les adresses.
Cette machine vient d’effectuer la lecture de neuf adresses. On note XX la variable aléatoire qui donne le nombre d’adresses illisibles parmi ces neuf adresses.
On admet que XX suit la loi binomiale de paramètres n=9n = 9 et p=0,03p = 0,03.
Question 1

La probabilité qu’aucune des neuf adresses soit illisible est égale, au centième près, à :
a.\bf{a.} 00                                                                                                 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 11

c.\bf{c.} 0,240,24                                                                                       \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 0,760,76

Correction
la bonne reˊponse est d.\red{\text{la bonne réponse est d.}}
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p)\mathscr{B}\left(n;p\right) alors, pour tout entier kk compris entre 00 et nn, on a :
  • P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)p^{k} \left(1-p\right)^{n-k}
  • XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(9;0,03)\mathscr{B}\left(9;0,03\right).
    Ainsi :
    P(X=0)=(90)×(0,03)0×(10,03)90P\left(X=0\right)=\left(\begin{array}{c} {9} \\ {0} \end{array}\right)\times \left(0,03 \right)^{0} \times \left(1-0,03 \right)^{9-0}
    P(X=0)=(90)×(0,03)0×(0,97)9P\left(X=0\right)=\left(\begin{array}{c} {9} \\ {0} \end{array}\right)\times \left(0,03 \right)^{0} \times \left(0,97 \right)^{9}
    Finalement :
    P(X=0)0,76P\left(X=0\right) \approx 0,76

    Question 2

    La probabilité qu’exactement deux des neuf adresses soient illisibles pour la machine est :
    a.\bf{a.} (92)×0,972×0,037\left(\begin{array}{c} {9} \\ {2} \end{array}\right)\times 0,97^{2} \times 0,03^{7}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} (72)×0,972×0,037\left(\begin{array}{c} {7} \\ {2} \end{array}\right)\times 0,97^{2} \times 0,03^{7}

    c.\bf{c.} (92)×0,977×0,032\left(\begin{array}{c} {9} \\ {2} \end{array}\right)\times 0,97^{7} \times 0,03^{2}                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} (72)×0,977×0,032\left(\begin{array}{c} {7} \\ {2} \end{array}\right)\times 0,97^{7} \times 0,03^{2}

    Correction
    la bonne reˊponse est c.\red{\text{la bonne réponse est c.}}
    Soit XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p)\mathscr{B}\left(n;p\right) alors, pour tout entier kk compris entre 00 et nn, on a :
  • P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)p^{k} \left(1-p\right)^{n-k}
  • XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(9;0,03)\mathscr{B}\left(9;0,03\right).
    Ainsi :
    P(X=2)=(92)×(0,03)2×(10,03)92P\left(X=2\right)=\left(\begin{array}{c} {9} \\ {2} \end{array}\right)\times \left(0,03 \right)^{2} \times \left(1-0,03 \right)^{9-2}
    Finalement :
    P(X=2)=(92)×0,977×0,032P\left(X=2\right)=\left(\begin{array}{c} {9} \\ {2} \end{array}\right)\times 0,97^{7} \times 0,03^{2}
    Question 3

    La probabilité qu’au moins une des neuf adresses soit illisible pour la machine est :
    a.\bf{a.} P(X<1)P\left(X<1\right)                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} P(X1)P\left(X\le 1\right)

    c.\bf{c.} P(X2)P\left(X\ge 2\right)                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 1P(X=0)1-P\left(X=0\right)

    Correction
    la bonne reˊponse est d.\red{\text{la bonne réponse est d.}}
    On doit calculer : P(X1)P\left(X\ge 1\right).
    Or P(X1)=1P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)
    Question 4
    Partie 2.\red{\text{Partie 2.}}
    Une urne contient 55 boules vertes et 33 boules blanches, indiscernables au toucher.
    On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l’urne.
    On considère les évènements suivants :
  • V1 : « la première boule tirée est verte »;
  • B1 : « la première boule tirée est blanche »;
  • V2 : « la seconde boule tirée est verte »;
  • B2 : « la seconde boule tirée est blanche ».
  • La probabilité de V2V_2 sachant que V1V_1 est réalisé, notée PV1(V2)P_{V_{1} } \left(V_{2} \right) est égale à :
    a.\bf{a.} 58\frac{5}{8}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 47\frac{4}{7}

    c.\bf{c.} 514\frac{5}{14}                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 37\frac{3}{7}

    Correction
    la bonne reˊponse est b.\red{\text{la bonne réponse est b.}}
    On commence par construire l'arbre pondéré traduisant l'énoncé.
    Par simple lecture de l'arbre pondéré, on lit alors que :
    PV1(V2)=47P_{V_{1} } \left(V_{2} \right)=\frac{4}{7}
    Question 5

    La probabilité de l’évènement V2V_2 est égale à :
    a.\bf{a.} 58\frac{5}{8}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 57\frac{5}{7}

    c.\bf{c.} 328\frac{3}{28}                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 97\frac{9}{7}

    Correction
    V1V_{1} et B1B_{1} forment une partition de l'univers.
    D'après la formule des probabilités totales on a :
    P(V2)=P(V1V2)+P(B1V2)P\left(V_{2} \right)=P\left(V_{1} \cap V_{2} \right)+P\left(B_{1} \cap V_{2} \right)
    P(V2)=P(V1)×PV1(V2)+P(B1)×PB1(V2)P\left(V_{2} \right)=P\left(V_{1} \right)\times P_{V_{1} } \left(V_{2} \right)+P\left(B_{1} \right)\times P_{B_{1} } \left(V_{2} \right)
    P(V2)=58×47+38×57P\left(V_{2} \right)=\frac{5}{8} \times \frac{4}{7} +\frac{3}{8} \times \frac{5}{7}
    P(V2)=2056+1556P\left(V_{2} \right)=\frac{20}{56} +\frac{15}{56}
    P(V2)=3556P\left(V_{2} \right)=\frac{35}{56}
    Ainsi :
    P(V2)=58P\left(V_{2} \right)=\frac{5}{8}