Épreuve d'enseignement de spécialité Centres Étrangers Sujet 1 - 10 juin 2026 Exercice 1 : Probabilités conditionnelles et loi binomiale - Exercice 1

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La fédération internationale d'escrime établit des normes de fabrication sur les lames des armes des tireurs afin de garantir au maximum leur sécurité.
Pour tester la conformité de l'acier employé, la lame est pliée puis redressée toutes les secondes jusqu'à la rupture.
La lame est conforme si la rupture intervient après plus de cinq heures de test.
Un équipementier d'escrime se fournit auprès de trois fabricants de lames.
Son stock est composé de 60 %60\,\% de lames du fournisseur A, de 12 %12\,\% de lames du fournisseur B, le reste venant du fournisseur C.
Une étude qualité a montré que :
  • 90 %90\,\% des lames du fournisseur A étaient conformes ;
  • 95 %95\,\% des lames du fournisseur B étaient conformes ;
  • 85 %85\,\% des lames du fournisseur C étaient conformes.
    • Question 1
    Partie A
    Un contrôle est déclenché sur une des lames vendues par l'équipementier.
    On considère les évènements suivants :
  • AA : « La lame testée provient du fournisseur A » ;
  • BB : « La lame testée provient du fournisseur B » ;
  • CC : « La lame testée provient du fournisseur C » ;
  • TT : « La lame testée est conforme ».
    • On note T‾\overline{T} l'évènement contraire de TT.

    Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous représentant la situation.

    Correction
  • 60 %60\,\% des lames proviennent du fournisseur A se traduit par P(A)=0,6P\left(A\right)=0{,}6 ;
  • 12 %12\,\% des lames proviennent du fournisseur B se traduit par P(B)=0,12P\left(B\right)=0{,}12 ;
  • le reste vient du fournisseur C : P(C)=1−0,6−0,12=0,28P\left(C\right)=1-0{,}6-0{,}12=0{,}28 ;
  • 90 %90\,\% des lames du fournisseur A sont conformes se traduit par PA(T)=0,9P_{A}\left(T\right)=0{,}9 ;
  • 95 %95\,\% des lames du fournisseur B sont conformes se traduit par PB(T)=0,95P_{B}\left(T\right)=0{,}95 ;
  • 85 %85\,\% des lames du fournisseur C sont conformes se traduit par PC(T)=0,85P_{C}\left(T\right)=0{,}85.
    • La somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 11.
    Ainsi :
    PA(T‾)=1−PA(T)=1−0,9=0,1P_{A}\left(\overline{T}\right)=1-P_{A}\left(T\right)=1-0{,}9=0{,}1
    PB(T‾)=1−PB(T)=1−0,95=0,05P_{B}\left(\overline{T}\right)=1-P_{B}\left(T\right)=1-0{,}95=0{,}05
    PC(T‾)=1−PC(T)=1−0,85=0,15P_{C}\left(\overline{T}\right)=1-P_{C}\left(T\right)=1-0{,}85=0{,}15
    Ce qui nous donne :
    Question 2

    Déterminer P(A∩T‾)P\left(A\cap\overline{T}\right) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

    Correction
    Pour calculer la probabilité P(A∩T‾)P\left(A\cap\overline{T}\right) il nous suffit de faire le produit des probabilités des branches passant par le chemin AA puis par T‾\overline{T}.
    Ainsi :
    P(A∩T‾)=P(A)×PA(T‾)P\left(A\cap\overline{T}\right)=P\left(A\right)\times P_{A}\left(\overline{T}\right)
    P(A∩T‾)=0,6×0,1P\left(A\cap\overline{T}\right)=0{,}6\times 0{,}1
    D'où :
    P(A∩T‾)=0,06P\left(A\cap\overline{T}\right)=0{,}06

    La probabilité que la lame testée provienne du fournisseur A et{\color{blue}{\text{et}}} ne soit pas conforme est égale à 0,060{,}06, soit 6 %6\,\%.
    Question 3

    Démontrer que la probabilité que la lame testée soit conforme est de 0,8920{,}892.

    Correction
    P(T)P\left(T\right) est la probabilité des chemins qui arrivent en TT.
      Formule des probabiliteˊs totales\red{\text{Formule des probabilités totales}}
  • Les évènements AA, BB et CC forment une partition de l'univers, donc : P(T)=P(A∩T)+P(B∩T)+P(C∩T)P\left(T\right)=P\left(A\cap T\right)+P\left(B\cap T\right)+P\left(C\cap T\right)
    • Cela se traduit par :
    P(T)=P(A∩T)+P(B∩T)+P(C∩T)P\left(T\right)=P\left(A\cap T\right)+P\left(B\cap T\right)+P\left(C\cap T\right)
    P(T)=P(A)×PA(T)+P(B)×PB(T)+P(C)×PC(T)P\left(T\right)=P\left(A\right)\times P_{A}\left(T\right)+P\left(B\right)\times P_{B}\left(T\right)+P\left(C\right)\times P_{C}\left(T\right)
    P(T)=0,6×0,9+0,12×0,95+0,28×0,85P\left(T\right)=0{,}6\times 0{,}9+0{,}12\times 0{,}95+0{,}28\times 0{,}85
    P(T)=0,54+0,114+0,238P\left(T\right)=0{,}54+0{,}114+0{,}238
    Ainsi :
    P(T)=0,892P\left(T\right)=0{,}892
    Question 4

    Sachant que la lame testée n'est pas conforme, déterminer la probabilité qu'elle provienne du fournisseur B.
    On donnera la valeur arrondie au millième.

    Correction
    Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant », c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
    On cherche : sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que la lame testée n'est pas conforme, la probabilité qu'elle provienne du fournisseur B.
    Cela se traduit par PT‾(B)P_{\overline{T}}\left(B\right).
      Pour un évènement BB de probabilité non nulle et un évènement AA :
  • PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B}\left(A\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    • D'après la question précédente : P(T‾)=1−P(T)=1−0,892=0,108P\left(\overline{T}\right)=1-P\left(T\right)=1-0{,}892=0{,}108.
    De plus : P(B∩T‾)=P(B)×PB(T‾)=0,12×0,05=0,006P\left(B\cap\overline{T}\right)=P\left(B\right)\times P_{B}\left(\overline{T}\right)=0{,}12\times 0{,}05=0{,}006.
    Il vient alors que :
    PT‾(B)=P(B∩T‾)P(T‾)P_{\overline{T}}\left(B\right)=\dfrac{P\left(B\cap\overline{T}\right)}{P\left(\overline{T}\right)}
    PT‾(B)=0,0060,108P_{\overline{T}}\left(B\right)=\dfrac{0{,}006}{0{,}108}
    PT‾(B)=118P_{\overline{T}}\left(B\right)=\dfrac{1}{18}
    D'où :
    PT‾(B)≈0,056P_{\overline{T}}\left(B\right)\approx 0{,}056

    Sachant que la lame testée n'est pas conforme, la probabilité qu'elle provienne du fournisseur B est d'environ 0,0560{,}056.
    Question 5
    Partie B
    D'après la partie A, la probabilité qu'une lame de l'équipementier ne soit pas conforme est égale à 0,1080{,}108.
    Lors d'une compétition d'escrime, l'équipementier apporte un échantillon de 7575 lames provenant de son stock.
    On considère qu'il les a choisies au hasard et de manière indépendante.
    De plus son stock de lames est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.
    On désigne par XX la variable aléatoire égale au nombre de lames non conformes dans cet échantillon.

    On admet que la variable aléatoire XX suit une loi binomiale.
    Préciser ses paramètres.

    Correction
    • On répète nn fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre pp (épreuve à deux issues : succès de probabilité pp, échec de probabilité 1−p1-p).
    • La variable aléatoire qui compte le nombre de succès suit alors la loi binomiale de paramètres nn et pp, notée B(n  ;p)\mathcal{B}\left(n\;;p\right).
  • L'épreuve consiste à prélever une lame : elle a deux issues, le succès S\red{S} : « la lame n'est pas conforme », de probabilité p=0,108\red{p=0{,}108}, et l'échec S‾\overline{S} : « la lame est conforme », de probabilité 1−0,108=0,8921-0{,}108=0{,}892. C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,1080{,}108.
  • Le choix des lames est assimilé à un tirage avec remise : on répète 75\blue{75} fois cette épreuve, de façon identique et indépendante.
  • XX compte le nombre de succès, c'est-à-dire le nombre de lames non conformes de l'échantillon.
    • Il en résulte que :
    XX suit la loi binomiale B(75  ;0,108)\mathcal{B}\left(\blue{75}\;;\red{0{,}108}\right).
    Question 6

    Calculer la probabilité que 66 lames exactement soient non conformes dans cet échantillon.
    On arrondira le résultat au millième.

    Correction
    • Si XX suit la loi binomiale B(n  ;p)\mathcal{B}\left(n\;;p\right), alors pour tout entier kk compris entre 00 et nn : P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP\left(X=k\right)=\dbinom{n}{k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}.
    La probabilité que 66 lames exactement soient non conformes se traduit par P(X=6)P\left(X=6\right).
    P(X=6)=(756)×0,1086×(1−0,108)75−6P\left(X=6\right)=\dbinom{75}{6}\times 0{,}108^{6}\times\left(1-0{,}108\right)^{75-6}
    P(X=6)=(756)×0,1086×0,89269P\left(X=6\right)=\dbinom{75}{6}\times 0{,}108^{6}\times 0{,}892^{69}
    À la calculatrice : P(X=6)≈0,120  14P\left(X=6\right)\approx 0{,}120\;14
    Ainsi :
    P(X=6)≈0,120P\left(X=6\right)\approx 0{,}120
    Question 7

    L'équipementier affirme que la probabilité qu'il y ait strictement plus de 88 lames non conformes dans cet échantillon est inférieure à 50 %50\,\%.
    A-t-il raison ?

    Correction
    « Strictement plus de 88 lames non conformes » se traduit par X>8X\gt 8, c'est-à-dire X⩾9X\geqslant 9 car XX ne prend que des valeurs entières.
    On passe par l'évènement contraire X⩽8X\leqslant 8 :
    P(X>8)=1−P(X⩽8)P\left(X\gt 8\right)=1-P\left(X\leqslant 8\right)
    À la calculatrice (loi binomiale cumulée de paramètres n=75n=75 et p=0,108p=0{,}108) : P(X⩽8)≈0,5779P\left(X\leqslant 8\right)\approx 0{,}5779.
    P(X>8)≈1−0,5779P\left(X\gt 8\right)\approx 1-0{,}5779
    P(X>8)≈0,4221P\left(X\gt 8\right)\approx 0{,}4221
    Or 0,4221<0,50{,}4221\lt 0{,}5, ainsi :
    L'équipementier a raison : P(X>8)≈0,422<50 %P\left(X\gt 8\right)\approx 0{,}422\lt 50\,\%.

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