Succession d'épreuves indépendantes et loi binomiale

Diagramme en barre associé à une loi binomiale - Exercice 3

3 min
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Soit XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres nn et pp. On donne ci-dessous le diagramme en barres à XX .
Question 1

Estimer graphiquement E(X)E\left(X\right) .

Correction
    Soit XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p)\mathscr{B}\left(n;p\right) .
  • Le diagramme associé à XX est en forme de cloche, centreˊ\red{\text{centré}} sur son espérance E(X)E\left(X\right).
    • Le diagramme est bien en forme de cloche et le diagramme semble eˆtre centreˊ\red{\text{semble être centré}} par rapport à la droite d'équation x=49x=49 que nous avons représenté en pointillé.
    On peut alors estimer que l'espérance E(X)E\left(X\right) est égale à 4949.
    Ainsi :
    E(X)=49E\left(X\right)=49
    Question 2
    On admet que p=0,72p=0,72 .

    Déterminer alors une valeur de nn .

    Correction
    XX est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n;p)\mathscr{B}\left(n;p\right) , alors l’espérance mathématique E(X)E\left(X\right) est égale à :
  • E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p
    • Dans notre situation, nous avons XX qui suit la loi binomiale B(n;0,72)\mathscr{B}\left(n;0,72\right) et E(X)=49E\left(X\right)=49
    Il en résulte donc que :
    n×0,72=49n\times 0,72=49
    n=490,72n=\frac{49}{0,72}
    Ainsi :
    n≈68,06n\approx68,06

    Or nn est un entier naturel on peut alors conjecturer que n=68n=68.
    On peut alors conjecturer que XX suit la loi binomiale B(68;0,72)\mathscr{B}\left(68;0,72\right) . Il s'agit d'une conjecture car notre raisonnement a été basé sur la réponse de la question 11.