Sommes de deux variables

Utiliser la linéarité de l’espérance et additivité de la variance - Exercice 2

5 min
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XX et YY sont deux variables aléatoires indépendantes dont les lois de probabilités sont données ci-dessous.
Question 1

Calculer E(X+Y)E\left(X+Y\right)

Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
D’une part : \text{\red{D'une part : }}
E(X)=−1×0,1+2×0,2+3×0,4+4×0,3E\left(X\right)=-1\times 0,1+2\times 0,2+3\times 0,4+4\times 0,3
E(X)=2,7E\left(X\right)=2,7

D’autre part : \text{\red{D'autre part : }}
E(Y)=0×0,4+1×0,4+5×0,1+6×0,1E\left(Y\right)=0\times 0,4+1\times 0,4+5\times 0,1+6\times 0,1
E(Y)=1,5E\left(Y\right)=1,5
    Pour toutes variables aléatoires XX et YY, et pour tous nombres réels aa et bb :
  • E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)
  • E(aX)=aE(X)E\left(aX\right)=aE\left(X\right)
  • E(X+b)=E(X)+bE\left(X+b\right)=E\left(X\right)+b
  • E(aX+b)=aE(X)+bE\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b
    • Il en résulte donc que :
    E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)
    E(X+Y)=2,7+1,5E\left(X+Y\right)=2,7+1,5
    E(X+Y)=4,2E\left(X+Y\right)=4,2

    Question 2

    Calculer V(X+Y)V\left(X+Y\right)

    Correction
    La formule de la variance est donnée ci-dessous :
    • V(X)=∑pi×(xi−E(X))2V\left(X\right)=\sum p_{i} \times \left(x_{i} -E\left(X\right)\right)^{2}
    D’une part : \text{\red{D'une part : }}
    V(X)=(−1−2,7)2×0,1+(2−2,7)2×0,2+(3−2,7)2×0,4+(4−2,7)2×0,3V\left(X\right)=\left(-1-2,7\right)^{2} \times 0,1+\left(2-2,7\right)^{2} \times 0,2+\left(3-2,7\right)^{2} \times 0,4+\left(4-2,7\right)^{2} \times 0,3
    Ainsi :
    V(X)=2,01V\left(X\right)=2,01

    D’autre part : \text{\red{D'autre part : }}
    V(Y)=(0−1,5)2×0,4+(1−1,5)2×0,4+(5−1,5)2×0,1+(6−1,5)2×0,1V\left(Y\right)=\left(0-1,5\right)^{2} \times 0,4+\left(1-1,5\right)^{2} \times 0,4+\left(5-1,5\right)^{2} \times 0,1+\left(6-1,5\right)^{2} \times 0,1
    Ainsi :
    V(Y)=4,25V\left(Y\right)=4,25

    D'après les hypothèses, nous savons que XX et YY sont deux variables aléatoires indépendantes .
      Soient XX et YY deux variables aléatoires indeˊpendantes\red{\text{indépendantes}}, on a :
  • V(X+Y)=V(X)+V(Y)V\left(X+Y\right)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)
    • On a alors :
    V(X+Y)=V(X)+V(Y)V\left(X+Y\right)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)
    V(X+Y)=2,01+4,25V\left(X+Y\right)=2,01+4,25
    Ainsi :
    V(X+Y)=6,26V\left(X+Y\right)=6,26