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Utiliser la linéarité de l’espérance et additivité de la variance - Exercice 1

10 min
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Soit XX une variable aléatoire telle que E(X)=3E\left(X\right)=3 et V(X)=1V\left(X\right)=1 .
Soit YY une variable aléatoire telle que E(Y)=8E\left(Y\right)=8 et V(Y)=2V\left(Y\right)=2 .
Question 1

Calculer E(X+Y)E\left(X+Y\right)

Correction
    Pour toutes variables aléatoires XX et YY, et pour tous nombres réels aa et bb :
  • E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)
  • E(aX)=aE(X)E\left(aX\right)=aE\left(X\right)
  • E(X+b)=E(X)+bE\left(X+b\right)=E\left(X\right)+b
  • E(aX+b)=aE(X)+bE\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b
    • Ainsi :
    E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)
    E(X+Y)=3+8E\left(X+Y\right)=3+8
    Ainsi :
    E(X+Y)=11E\left(X+Y\right)=11
    Question 2

    Calculer E(6X)E\left(6X\right)

    Correction
      Pour toutes variables aléatoires XX et YY, et pour tous nombres réels aa et bb :
  • E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)
  • E(aX)=aE(X)E\left(aX\right)=aE\left(X\right)
  • E(X+b)=E(X)+bE\left(X+b\right)=E\left(X\right)+b
  • E(aX+b)=aE(X)+bE\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b
    • Ainsi :
    E(6X)=6E(X)E\left(6X\right)=6E\left(X\right)
    E(6X)=6×3E\left(6X\right)=6\times3
    Ainsi :
    E(6X)=18E\left(6X\right)=18
    Question 3

    Calculer E(Y+3)E\left(Y+3\right)

    Correction
      Pour toutes variables aléatoires XX et YY, et pour tous nombres réels aa et bb :
  • E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)
  • E(aX)=aE(X)E\left(aX\right)=aE\left(X\right)
  • E(X+b)=E(X)+bE\left(X+b\right)=E\left(X\right)+b
  • E(aX+b)=aE(X)+bE\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b
    • Ainsi :
    E(Y+3)=E(Y)+3E\left(Y+3\right)=E\left(Y\right)+3
    E(Y+3)=8+3E\left(Y+3\right)=8+3
    Ainsi :
    E(Y+3)=11E\left(Y+3\right)=11
    Question 4

    Calculer E(4X+8)E\left(4X+8\right)

    Correction
      Pour toutes variables aléatoires XX et YY, et pour tous nombres réels aa et bb :
  • E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)
  • E(aX)=aE(X)E\left(aX\right)=aE\left(X\right)
  • E(X+b)=E(X)+bE\left(X+b\right)=E\left(X\right)+b
  • E(aX+b)=aE(X)+bE\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b
    • Ainsi :
    E(4X+8)=4E(X)+8E\left(4X+8\right)=4E\left(X\right)+8
    E(4X+8)=4×3+8E\left(4X+8\right)=4\times 3+8
    Ainsi :
    E(4X+8)=20E\left(4X+8\right)=20
    Question 5

    Calculer V(X+Y)V\left(X+Y\right)

    Correction
      Soient XX et YY deux variables aléatoires indeˊpendantes\red{\text{indépendantes}}, on a :
  • V(X+Y)=V(X)+V(Y)V\left(X+Y\right)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)
    • D'après les hypothèses initiales, nous ne savons pas si les variables aléatoires XX et YY sont indépendantes. Dans cette situation, nous ne pouvons pas déterminer V(X+Y)V\left(X+Y\right) .
    Question 6

    Calculer V(2X)V\left(2X\right)

    Correction
      Pour toute variable aléatoire XX, et pour tous nombres réels aa et bb :
  • V(aX)=a2V(X)V\left(aX\right)=a^2V\left(X\right)
  • V(aX+b)=a2V(X)V\left(aX+b\right)=a^2V\left(X\right)
    • On obtient donc :
    V(2X)=22V(X)V\left(2X\right)=2^2V\left(X\right)
    V(2X)=4V(X)V\left(2X\right)=4V\left(X\right)
    V(2X)=4×1V\left(2X\right)=4\times1
    Ainsi :
    V(2X)=4V\left(2X\right)=4
    Question 7

    Calculer V(−3Y+1)V\left(-3Y+1\right)

    Correction
      Pour toute variable aléatoire XX, et pour tous nombres réels aa et bb :
  • V(aX)=a2V(X)V\left(aX\right)=a^2V\left(X\right)
  • V(aX+b)=a2V(X)V\left(aX+b\right)=a^2V\left(X\right)
    • On obtient donc :
    V(−3Y+1)=(−3)2V(Y)V\left(-3Y+1\right)=\left(-3\right)^2V\left(Y\right)
    V(−3Y+1)=9V(Y)V\left(-3Y+1\right)=9V\left(Y\right)
    V(−3Y+1)=9×2V\left(-3Y+1\right)=9\times2
    Ainsi :
    V(−3Y+1)=18V\left(-3Y+1\right)=18

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