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Sommes de deux variables
Utiliser la linéarité de l’espérance et additivité de la variance - Exercice 1
10 min
20
Soit
X
X
X
une variable aléatoire telle que
E
(
X
)
=
3
E\left(X\right)=3
E
(
X
)
=
3
et
V
(
X
)
=
1
V\left(X\right)=1
V
(
X
)
=
1
.
Soit
Y
Y
Y
une variable aléatoire telle que
E
(
Y
)
=
8
E\left(Y\right)=8
E
(
Y
)
=
8
et
V
(
Y
)
=
2
V\left(Y\right)=2
V
(
Y
)
=
2
.
Question 1
Calculer
E
(
X
+
Y
)
E\left(X+Y\right)
E
(
X
+
Y
)
Correction
Pour toutes variables aléatoires
X
X
X
et
Y
Y
Y
, et pour tous nombres réels
a
a
a
et
b
b
b
:
E
(
X
+
Y
)
=
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)
E
(
X
+
Y
)
=
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
E
(
a
X
)
=
a
E
(
X
)
E\left(aX\right)=aE\left(X\right)
E
(
a
X
)
=
a
E
(
X
)
E
(
X
+
b
)
=
E
(
X
)
+
b
E\left(X+b\right)=E\left(X\right)+b
E
(
X
+
b
)
=
E
(
X
)
+
b
E
(
a
X
+
b
)
=
a
E
(
X
)
+
b
E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b
E
(
a
X
+
b
)
=
a
E
(
X
)
+
b
Ainsi :
E
(
X
+
Y
)
=
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)
E
(
X
+
Y
)
=
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
E
(
X
+
Y
)
=
3
+
8
E\left(X+Y\right)=3+8
E
(
X
+
Y
)
=
3
+
8
Ainsi :
E
(
X
+
Y
)
=
11
E\left(X+Y\right)=11
E
(
X
+
Y
)
=
11
Question 2
Calculer
E
(
6
X
)
E\left(6X\right)
E
(
6
X
)
Correction
Pour toutes variables aléatoires
X
X
X
et
Y
Y
Y
, et pour tous nombres réels
a
a
a
et
b
b
b
:
E
(
X
+
Y
)
=
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)
E
(
X
+
Y
)
=
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
E
(
a
X
)
=
a
E
(
X
)
E\left(aX\right)=aE\left(X\right)
E
(
a
X
)
=
a
E
(
X
)
E
(
X
+
b
)
=
E
(
X
)
+
b
E\left(X+b\right)=E\left(X\right)+b
E
(
X
+
b
)
=
E
(
X
)
+
b
E
(
a
X
+
b
)
=
a
E
(
X
)
+
b
E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b
E
(
a
X
+
b
)
=
a
E
(
X
)
+
b
Ainsi :
E
(
6
X
)
=
6
E
(
X
)
E\left(6X\right)=6E\left(X\right)
E
(
6
X
)
=
6
E
(
X
)
E
(
6
X
)
=
6
×
3
E\left(6X\right)=6\times3
E
(
6
X
)
=
6
×
3
Ainsi :
E
(
6
X
)
=
18
E\left(6X\right)=18
E
(
6
X
)
=
18
Question 3
Calculer
E
(
Y
+
3
)
E\left(Y+3\right)
E
(
Y
+
3
)
Correction
Pour toutes variables aléatoires
X
X
X
et
Y
Y
Y
, et pour tous nombres réels
a
a
a
et
b
b
b
:
E
(
X
+
Y
)
=
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)
E
(
X
+
Y
)
=
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
E
(
a
X
)
=
a
E
(
X
)
E\left(aX\right)=aE\left(X\right)
E
(
a
X
)
=
a
E
(
X
)
E
(
X
+
b
)
=
E
(
X
)
+
b
E\left(X+b\right)=E\left(X\right)+b
E
(
X
+
b
)
=
E
(
X
)
+
b
E
(
a
X
+
b
)
=
a
E
(
X
)
+
b
E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b
E
(
a
X
+
b
)
=
a
E
(
X
)
+
b
Ainsi :
E
(
Y
+
3
)
=
E
(
Y
)
+
3
E\left(Y+3\right)=E\left(Y\right)+3
E
(
Y
+
3
)
=
E
(
Y
)
+
3
E
(
Y
+
3
)
=
8
+
3
E\left(Y+3\right)=8+3
E
(
Y
+
3
)
=
8
+
3
Ainsi :
E
(
Y
+
3
)
=
11
E\left(Y+3\right)=11
E
(
Y
+
3
)
=
11
Question 4
Calculer
E
(
4
X
+
8
)
E\left(4X+8\right)
E
(
4
X
+
8
)
Correction
Pour toutes variables aléatoires
X
X
X
et
Y
Y
Y
, et pour tous nombres réels
a
a
a
et
b
b
b
:
E
(
X
+
Y
)
=
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)
E
(
X
+
Y
)
=
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
E
(
a
X
)
=
a
E
(
X
)
E\left(aX\right)=aE\left(X\right)
E
(
a
X
)
=
a
E
(
X
)
E
(
X
+
b
)
=
E
(
X
)
+
b
E\left(X+b\right)=E\left(X\right)+b
E
(
X
+
b
)
=
E
(
X
)
+
b
E
(
a
X
+
b
)
=
a
E
(
X
)
+
b
E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b
E
(
a
X
+
b
)
=
a
E
(
X
)
+
b
Ainsi :
E
(
4
X
+
8
)
=
4
E
(
X
)
+
8
E\left(4X+8\right)=4E\left(X\right)+8
E
(
4
X
+
8
)
=
4
E
(
X
)
+
8
E
(
4
X
+
8
)
=
4
×
3
+
8
E\left(4X+8\right)=4\times 3+8
E
(
4
X
+
8
)
=
4
×
3
+
8
Ainsi :
E
(
4
X
+
8
)
=
20
E\left(4X+8\right)=20
E
(
4
X
+
8
)
=
20
Question 5
Calculer
V
(
X
+
Y
)
V\left(X+Y\right)
V
(
X
+
Y
)
Correction
Soient
X
X
X
et
Y
Y
Y
deux variables aléatoires
ind
e
ˊ
pendantes
\red{\text{indépendantes}}
ind
e
ˊ
pendantes
, on a :
V
(
X
+
Y
)
=
V
(
X
)
+
V
(
Y
)
V\left(X+Y\right)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)
V
(
X
+
Y
)
=
V
(
X
)
+
V
(
Y
)
D'après les hypothèses initiales, nous ne savons pas si les variables aléatoires
X
X
X
et
Y
Y
Y
sont indépendantes. Dans cette situation, nous ne pouvons pas déterminer
V
(
X
+
Y
)
V\left(X+Y\right)
V
(
X
+
Y
)
.
Question 6
Calculer
V
(
2
X
)
V\left(2X\right)
V
(
2
X
)
Correction
Pour toute variable aléatoire
X
X
X
, et pour tous nombres réels
a
a
a
et
b
b
b
:
V
(
a
X
)
=
a
2
V
(
X
)
V\left(aX\right)=a^2V\left(X\right)
V
(
a
X
)
=
a
2
V
(
X
)
V
(
a
X
+
b
)
=
a
2
V
(
X
)
V\left(aX+b\right)=a^2V\left(X\right)
V
(
a
X
+
b
)
=
a
2
V
(
X
)
On obtient donc :
V
(
2
X
)
=
2
2
V
(
X
)
V\left(2X\right)=2^2V\left(X\right)
V
(
2
X
)
=
2
2
V
(
X
)
V
(
2
X
)
=
4
V
(
X
)
V\left(2X\right)=4V\left(X\right)
V
(
2
X
)
=
4
V
(
X
)
V
(
2
X
)
=
4
×
1
V\left(2X\right)=4\times1
V
(
2
X
)
=
4
×
1
Ainsi :
V
(
2
X
)
=
4
V\left(2X\right)=4
V
(
2
X
)
=
4
Question 7
Calculer
V
(
−
3
Y
+
1
)
V\left(-3Y+1\right)
V
(
−
3
Y
+
1
)
Correction
Pour toute variable aléatoire
X
X
X
, et pour tous nombres réels
a
a
a
et
b
b
b
:
V
(
a
X
)
=
a
2
V
(
X
)
V\left(aX\right)=a^2V\left(X\right)
V
(
a
X
)
=
a
2
V
(
X
)
V
(
a
X
+
b
)
=
a
2
V
(
X
)
V\left(aX+b\right)=a^2V\left(X\right)
V
(
a
X
+
b
)
=
a
2
V
(
X
)
On obtient donc :
V
(
−
3
Y
+
1
)
=
(
−
3
)
2
V
(
Y
)
V\left(-3Y+1\right)=\left(-3\right)^2V\left(Y\right)
V
(
−
3
Y
+
1
)
=
(
−
3
)
2
V
(
Y
)
V
(
−
3
Y
+
1
)
=
9
V
(
Y
)
V\left(-3Y+1\right)=9V\left(Y\right)
V
(
−
3
Y
+
1
)
=
9
V
(
Y
)
V
(
−
3
Y
+
1
)
=
9
×
2
V\left(-3Y+1\right)=9\times2
V
(
−
3
Y
+
1
)
=
9
×
2
Ainsi :
V
(
−
3
Y
+
1
)
=
18
V\left(-3Y+1\right)=18
V
(
−
3
Y
+
1
)
=
18