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Rappels de première spécialité : espérance et écart type - Exercice 2

10 min
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Une urne contient 77 boules indiscernables au toucher : 44 bleues et 33 rouges. On extrait l'une après l'autre, sans remise, deux boules de l'urne.
A chaque issue, on associe le nombre de boules bleues obtenues. On définit ainsi une variable aléatoire XX.
Question 1

Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre.

Correction
On note :
  • R1R_{1} la première boule tirée est de couleur rouge.
  • B1B_{1} la première boule tirée est de couleur bleue.
  • R2R_{2} la deuxième boule tirée est de couleur rouge.
  • B2B_{2} la deuxième boule tirée est de couleur bleue.
L'arbre pondéré est donné ci-dessous :
Question 2

Calculer P(X=0)P\left(X=0\right)

Correction
P(X=0)P\left(X=0\right) signifie que l'on a tiré aucune boule bleue lors des deux tirages.
Cela signifie que lors du premier tirage on tire R1R_{1} et lors du deuxième tirage on tire R2R_{2}.
Nous pouvons écrire alors que :
P(X=0)=P(R1∩R2)P\left(X=0\right)=P\left(R_{1} \cap R_{2} \right)
P(X=0)=37×26P\left(X=0\right)=\frac{3}{7}\times\frac{2}{6}
P(X=0)=17P\left(X=0\right)=\frac{1}{7}

Question 3

Définir la loi de probabilité de XX.

Correction
Il nous faut calculer maintenant P(X=2)P\left(X=2\right) et P(X=1)P\left(X=1\right).
D'une part :
P(X=2)=P(B1∩B2)P\left(X=2\right)=P\left(B_{1} \cap B_{2} \right)
P(X=2)=47×36P\left(X=2\right)=\frac{4}{7}\times\frac{3}{6}
P(X=2)=27P\left(X=2\right)=\frac{2}{7}

D'autre part :
P(X=1)=P(R1∩B2)+P(B1∩R2)P\left(X=1\right)=P\left(R_{1} \cap B_{2} \right)+P\left(B_{1} \cap R_{2} \right)
P(X=1)=37×46+47×36P\left(X=1\right)=\frac{3}{7}\times\frac{4}{6}+\frac{4}{7}\times\frac{3}{6}
P(X=1)=47P\left(X=1\right)=\frac{4}{7}

Nous allons maintenant dresser la loi de probabilité de XX.
Question 4

Calculer l'espérance et l'écart type de XX.

Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
D'une part : Calculons l'espérance ( on peut également considérer que l'espérance est la moyenne )
E(X)=∑xi×piE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i}
E(X)=0×17+1×47+2×27E\left(X\right)=0\times \frac{1}{7}+1\times \frac{4}{7}+2\times \frac{2}{7}
E(X)=87E\left(X\right)=\frac{8}{7}
La formule de l'écart type σ\sigma est obtenue après avoir calculer la variance VV.
Les formules de la variance et de l'écart type sont données ci-dessous :
  • V(X)=∑pi×(xi−E(X))2V\left(X\right)=\sum p_{i} \times \left(x_{i} -E\left(X\right)\right)^{2}
  • σ(X)=V(X)\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}
V(X)=∑(xi−E(X))2×piV\left(X\right)=\sum \left(x_{i} -E\left(X\right)\right) ^{2} \times p_{i}
V(X)=(0−87)2×17+(1−87)2×47+(2−87)2×27V\left(X\right)=\left(0-\frac{8}{7}\right)^{2} \times \frac{1}{7}+\left(1-\frac{8}{7}\right)^{2} \times \frac{4}{7}+\left(2-\frac{8}{7}\right)^{2} \times \frac{2}{7}
V(X)=2049V\left(X\right)=\frac{20}{49}

σ(X)=V(X)≈0,64\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} \approx 0,64
à 10−210^{-2} près.

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