Épreuve d'enseignement de spécialité Métropole Sujet 1 - 8 septembre 2026 Exercice 1 Partie C : Espérance et variance d'une somme de variables aléatoires - Exercice 1

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On s'intéresse au respect des délais de livraison de colis à domicile dans une agglomération.
Deux zones géographiques sont desservies sans que les livraisons dans l'une n'aient d'incidence sur celles dans l'autre :
  • en zone A, les délais de livraison sont respectés dans 85 %85\,\% des cas ;
  • en zone B, les délais de livraison sont respectés dans 90 %90\,\% des cas.
    • L'entreprise observe 120120 livraisons effectuées en zone A et 8080 livraisons effectuées en zone B.
    On note :
  • XAX_{A} la variable aléatoire comptabilisant le nombre de colis livrés respectant les délais de livraison en zone A ;
  • XBX_{B} la variable aléatoire comptabilisant le nombre de colis livrés respectant les délais de livraison en zone B ;
  • S=XA+XBS=X_{A}+X_{B} la variable aléatoire donnant le nombre total de colis livrés respectant les délais de livraison.
    • On admet que XAX_{A} suit une loi binomiale B(120  ;0,85)\mathcal{B}\left(120\;;0{,}85\right) et que XBX_{B} suit une loi binomiale B(80  ;0,90)\mathcal{B}\left(80\;;0{,}90\right).
    Question 1

    Calculer l'espérance et la variance des variables XAX_{A} et XBX_{B}.

    Correction
      Loi binomiale\red{\text{Loi binomiale}}
  • Si XX suit la loi binomiale B(n  ;p)\mathcal{B}\left(n\;;p\right), alors E(X)=npE\left(X\right)=np et V(X)=np(1−p)V\left(X\right)=np\left(1-p\right).
  • P(X⩽k)P\left(X\leqslant k\right) s'obtient à la calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale).
    • XAX_{A} suit la loi binomiale B(120  ;0,85)\mathcal{B}\left(120\;;0{,}85\right) :
    E(XA)=120×0,85=102E\left(X_{A}\right)=120\times 0{,}85=102 et V(XA)=120×0,85×(1−0,85)=120×0,85×0,15=15,3V\left(X_{A}\right)=120\times 0{,}85\times\left(1-0{,}85\right)=120\times 0{,}85\times 0{,}15=15{,}3
    XBX_{B} suit la loi binomiale B(80  ;0,90)\mathcal{B}\left(80\;;0{,}90\right) :
    E(XB)=80×0,9=72E\left(X_{B}\right)=80\times 0{,}9=72 et V(XB)=80×0,9×(1−0,9)=80×0,9×0,1=7,2V\left(X_{B}\right)=80\times 0{,}9\times\left(1-0{,}9\right)=80\times 0{,}9\times 0{,}1=7{,}2
    E(XA)=102E\left(X_{A}\right)=102, V(XA)=15,3V\left(X_{A}\right)=15{,}3, E(XB)=72E\left(X_{B}\right)=72 et V(XB)=7,2V\left(X_{B}\right)=7{,}2
    Question 2

    Calculer E(S)E\left(S\right).

    Correction
      Espeˊrance et variance d’une somme\red{\text{Espérance et variance d'une somme}}
  • Pour toutes variables aléatoires XX et YY et tout réel aa : E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right) et E(aX)=aE(X)E\left(aX\right)=aE\left(X\right).
  • V(aX)=a2V(X)V\left(aX\right)=a^{2}V\left(X\right).
  • Si XX et YY sont indépendantes : V(X+Y)=V(X)+V(Y)V\left(X+Y\right)=V\left(X\right)+V\left(Y\right).
    • Par linéarité de l'espérance :
    E(S)=E(XA+XB)=E(XA)+E(XB)=102+72E\left(S\right)=E\left(X_{A}+X_{B}\right)=E\left(X_{A}\right)+E\left(X_{B}\right)=102+72
    Ainsi :
    E(S)=174E\left(S\right)=174
    En moyenne, sur les 200200 livraisons observées, 174174 respectent les délais.
    Question 3

    Quelle condition permet d'affirmer que V(S)=22,5V\left(S\right)=22{,}5 ?

    Correction
    D'après le rappel de la question précédente, la variance d'une somme de deux variables aléatoires est égale à la somme de leurs variances lorsque ces variables sont indépendantes.
    Si XAX_{A} et XBX_{B} sont indépendantes :
    V(S)=V(XA)+V(XB)=15,3+7,2=22,5V\left(S\right)=V\left(X_{A}\right)+V\left(X_{B}\right)=15{,}3+7{,}2=22{,}5
    La condition est que les variables aléatoires XAX_{A} et XBX_{B} soient indépendantes : on a alors V(S)=V(XA)+V(XB)=22,5V\left(S\right)=V\left(X_{A}\right)+V\left(X_{B}\right)=22{,}5.
    C'est bien le cas ici : les livraisons dans une zone n'ont pas d'incidence sur celles de l'autre.

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