Épreuve d'enseignement de spécialité Métropole Sujet 1 - 16 juin 2026 Exercice 1 Partie B : Espérance et variance d'une somme de variables aléatoires - Exercice 1

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Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée. Sur ce trajet, la réservation d'une cabine et d'un emplacement pour un véhicule sont facturés en supplément du coût de la traversée.
Ces suppléments sont d'un montant de :
  • 100100 € pour une cabine ;
  • 7070 € pour l'emplacement d'un véhicule.
    • On suppose qu'une famille peut réserver au maximum une cabine et au maximum un emplacement pour un véhicule.
    À ces suppléments peuvent s'ajouter le prix payé pour des extras (repas, boissons, etc.).
    On note XX la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les suppléments.
    On donne ci-dessous la loi de probabilité de XX.
    On note YY la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les extras.
    On admet que la variable aléatoire YY a pour espérance E(Y)=104E\left(Y\right)=104 et pour variance V(Y)=1 686V\left(Y\right)=1\,686.
    On suppose que les variables XX et YY sont indépendantes.
    Question 1

    Justifier que E(X)=96E\left(X\right)=96 et que V(X)=3 114V\left(X\right)=3\,114.

    Correction
      Espeˊrance et variance\red{\text{Espérance et variance}}
  • E(X)=∑ixi P(X=xi)E\left(X\right)=\displaystyle\sum_{i} x_{i}\,P\left(X=x_{i}\right)
  • V(X)=∑iP(X=xi)(xi−E(X))2V\left(X\right)=\displaystyle\sum_{i} P\left(X=x_{i}\right)\left(x_{i}-E\left(X\right)\right)^{2}
    • Espeˊrance :\red{\text{Espérance :}}
    E(X)=0×0,19+70×0,06+100×0,51+170×0,24E\left(X\right)=0\times 0{,}19+70\times 0{,}06+100\times 0{,}51+170\times 0{,}24
    E(X)=0+4,2+51+40,8E\left(X\right)=0+4{,}2+51+40{,}8
    Ainsi :
    E(X)=96E\left(X\right)=96
    Variance :\red{\text{Variance :}}
    V(X)=0,19×(0−96)2+0,06×(70−96)2+0,51×(100−96)2+0,24×(170−96)2V\left(X\right)=0{,}19\times\left(0-96\right)^{2}+0{,}06\times\left(70-96\right)^{2}+0{,}51\times\left(100-96\right)^{2}+0{,}24\times\left(170-96\right)^{2}
    V(X)=0,19×9 216+0,06×676+0,51×16+0,24×5 476V\left(X\right)=0{,}19\times 9\,216+0{,}06\times 676+0{,}51\times 16+0{,}24\times 5\,476
    V(X)=1 751,04+40,56+8,16+1 314,24V\left(X\right)=1\,751{,}04+40{,}56+8{,}16+1\,314{,}24
    Ainsi :
    V(X)=3 114V\left(X\right)=3\,114
    Question 2

    À titre exceptionnel, la compagnie propose une remise de 40 %40\,\% sur les suppléments et les extras.
    On note ZZ la variable aléatoire qui, à chaque famille effectuant la traversée, associe le montant total pour les suppléments et les extras, en euro, payé par cette famille après réduction.
    Justifier que Z=0,6(X+Y)Z=0{,}6\left(X+Y\right).

    Correction
    Avant la réduction, le montant total payé par une famille pour les suppléments et les extras est égal à X+YX+Y.
    Une remise de 40 %40\,\% revient à multiplier ce montant par le coefficient multiplicateur 1−40100=0,61-\dfrac{40}{100}=0{,}6.
    Ainsi :
    Z=0,6(X+Y)Z=0{,}6\left(X+Y\right)
    Question 3

    En déduire que E(Z)=120E\left(Z\right)=120 et que V(Z)=1 728V\left(Z\right)=1\,728, où E(Z)E\left(Z\right) est l'espérance de la variable aléatoire ZZ et V(Z)V\left(Z\right) sa variance.

    Correction
      Espeˊrance et variance d’une somme\red{\text{Espérance et variance d'une somme}}
  • Pour toutes variables aléatoires XX et YY et tout réel aa : E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right) et E(aX)=aE(X)E\left(aX\right)=aE\left(X\right).
  • V(aX)=a2V(X)V\left(aX\right)=a^{2}V\left(X\right).
  • Si XX et YY sont indépendantes : V(X+Y)=V(X)+V(Y)V\left(X+Y\right)=V\left(X\right)+V\left(Y\right).
    • Espeˊrance :\red{\text{Espérance :}}
    E(Z)=E(0,6(X+Y))E\left(Z\right)=E\left(0{,}6\left(X+Y\right)\right)
    E(Z)=0,6(E(X)+E(Y))E\left(Z\right)=0{,}6\left(E\left(X\right)+E\left(Y\right)\right)
    E(Z)=0,6×(96+104)E\left(Z\right)=0{,}6\times\left(96+104\right)
    E(Z)=0,6×200E\left(Z\right)=0{,}6\times 200
    Ainsi :
    E(Z)=120E\left(Z\right)=120
    Variance :\red{\text{Variance :}} les variables XX et YY sont indépendantes, donc :
    V(Z)=0,62×V(X+Y)V\left(Z\right)=0{,}6^{2}\times V\left(X+Y\right)
    V(Z)=0,36×(V(X)+V(Y))V\left(Z\right)=0{,}36\times\left(V\left(X\right)+V\left(Y\right)\right)
    V(Z)=0,36×(3 114+1 686)V\left(Z\right)=0{,}36\times\left(3\,114+1\,686\right)
    V(Z)=0,36×4 800V\left(Z\right)=0{,}36\times 4\,800
    Ainsi :
    V(Z)=1 728V\left(Z\right)=1\,728

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