Sommes de deux variables

Epreuve d'enseignement de spécialité Centres étrangers 6 juin 2024. Exercice 1 - Exercice 1

25 min
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Un sac opaque contient huit jetons numérotés de 11 à 88 , indiscernables au toucher.
À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.
Dans ce contexte, on appelle « tirage » la liste ordonnée des trois numéros obtenus.
Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro 44, puis le jeton numéro 55 , puis le jeton numéro 11 , alors le tirage correspondant est (4;5;1)(4 ; 5 ; 1).
Question 1

Déterminer le nombre de tirages possibles.

Correction
On effectue ici des tirages avec remise.
  • il y a 88 possibilités pour le premier jeton.
  • il y a 88 possibilités pour le deuxième jeton.
  • il y a 88 possibilités pour le troisième jeton.
  • Le nombre de k\red{k}-uplets d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments est égale à nk\blue{n}^{\red{k}} .
  • Le terme k\red{k}-listes est un synonyme de k\red{k}-uplets
  • On tire 33 jetons avec remise de manière successive un à un, chaque tirage est donc un 33-uplet d'éléments de {1;2;3;4;5;6;7;8}\left\{1;2;3;4;5;6;7;8 \right\} .
    Ainsi, il y a donc 83\blue{8}^{\red{3}} tirages possibles c'est à dire 512512 tirages possibles.
    Question 2

    Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.

    Correction
    On effectue ici des tirages avec remise.
  • il y a 88 possibilités pour le premier jeton. Ensuite on ne peut pas retirer le jeton pris la première fois.
  • il y a maintenant 77 possibilités pour le deuxième jeton. On ne peut ni reprendre le premier jeton pris ni le deuxième
  • il y a enfin 66 possibilités pour le troisième jeton.
  • Nous avons donc 8×7×6=3368 \times 7 \times 6=336 sans répétition de numéro.
    Nous pouvons également justifier de la sorte.
    Soit k\red{k} un nombre entier naturel tel que 1kn1\le k \le \blue{n}.
    Le nombre de k\red{k}-uplets d'éléments distincts\text{\pink{distincts}} d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments est :
    n×(n1)×(n2)××(nk+1)=n!(nk)!\blue{n}\times \left(\blue{n}-1\right)\times \left(\blue{n}-2\right)\times \ldots \times \left(\blue{n}-\red{k}+1\right)=\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{k}\right)!}
  • On rappelle\text{\purple{rappelle}} également qu'un arrangement\text{\purple{arrangement}} de k\red{k} éléments de EE est un k\red{k}-uplets d'éléments distincts de l'ensemble EE .
  • Ici, on appelle EE l'ensemble des 8\blue{8} éléments . Ainsi : E={1;2;3;4;5;6;7;8}E=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8\right\} .
    Nous voulons des tirages à 3\red{3} chiffres, c'est à dire que nous cherchons le nombre de 3\red{3}-uplets d'éléments distincts\text{\pink{distincts}} d'un ensemble EE à 8\blue{8} éléments. (Eléments distincts\text{\pink{distincts}} car on ne peut pas réutiliser par exemple le chiffre 44 plusieurs fois.) Nous sommes bien dans une situation d’arrangement.\text{\purple{d'arrangement}} .
    Il en résulte donc :
    8!(83)!=8!5!\frac{\blue{8}!}{\left(\blue{8}-\red{3}\right)!}=\frac{8!}{5!}
    8!(43)!=8×7×6×5×4×3×2×15×4×3×2×1\frac{\blue{8}!}{\left(\blue{4}-\red{3}\right)!}=\frac{8\times 7\times 6\times 5\times4\times3\times2\times1}{5\times4\times3\times2\times1}
    8!(43)!=8×7×6\frac{\blue{8}!}{\left(\blue{4}-\red{3}\right)!}=8\times 7\times 6
    Il y a donc 336336 possibilités de tirages sans répétition de numéro.
    Dans un arrangement\text{\purple{arrangement}}, il n’y a pas de reˊpeˊtitions des eˊleˊments\text{\red{n'y a pas de répétitions des éléments}} (éléments distincts) et surtout il y a une notion d’ordre\text{\red{notion d'ordre}} à prendre en compte .
    Question 3

    En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.

    Correction
    Nous allons raisonner à l'aide de l'évènement contraire.
    L'évènement contraire de "le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro" est "le nombre de tirages sans répétition de numéro".
    Le nombre total de tirages possibles est 512512 .
    Ainsi le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro sera égale à : 512336=176512-336=176 .
    Le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro est égale à 176176.
    Question 4
    On note X1X_1 la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, X2X_2 celle égale au numéro du deuxième jeton pioché et X3X_3 celle égale au numéro du troisième jeton pioché.
    Puisqu'il s'agit d'un tirage avec remise, les variables aléatoires X1,X2X_1, X_2, et X3X_3 sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.

    Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire X1X_1 .

    Correction
    On note X1X_1 la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché.
    On a donc 11 chance sur 88 de tirer le jeton 11 ; 11 chance sur 88 de tirer le jeton 22 ; 11 chance sur 88 de tirer le jeton 22 ; 11 chance sur 88 de tirer le jeton 33; 11 chance sur 88 de tirer le jeton 44; 11 chance sur 88 de tirer le jeton 55 et 11 chance sur 88 de tirer le jeton 66.
    On dresse alors la loi de probabilité de la variable aléatoire X1X_1 comme suit :
    Question 5

    Déterminer l'espérance de la variable aléatoire X1X_1 .

    Correction
    On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
    • E(X)=xi×pi=x1×p1+x2×p2++xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
    Remarque : L'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.
    Calculons l'espérance ( on peut également considérer que l'espérance est la moyenne )
    E(X1)=xi×piE\left(X_1\right)=\sum x_{i} \times p_{i}
    E(X1)=1×18+2×18+3×18++8×18E\left(X_1\right)=1\times \frac{1}{8}+2\times \frac{1}{8}+3\times \frac{1}{8}+\ldots +8\times \frac{1}{8}
    D'où :
    E(X1)=4,5E\left(X_1\right)=4,5

    Question 6
    On note S=X1+X2+X3S=X_1+X_2+X_3 la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.

    Déterminer l'espérance de la variable aléatoire SS.

    Correction
    D'après les hypothèses, les variables aléatoires X1,X2X_1, X_2, et X3X_3 sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.
    Autrement dit : E(X1)=E(X2)=E(X3)=4,5E\left(X_1\right)=E\left(X_2\right)=E\left(X_3\right)=4,5.
    Comme S=X1+X2+X3S=X_1+X_2+X_3 alors l'espérance de la variable aléatoire SS s'écrit :
    E(S)=E(X1+X2+X3)E\left(S\right)=E\left(X_1+X_2+X_3\right)
      Pour toutes variables aléatoires XX et YY:
  • E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)
  • D'après le principe de la linéarité de l'espérance, on a :
    E(S)=E(X1)+E(X2)+E(X3)E\left(S\right)=E\left(X_1\right)+E\left(X_2\right)+E\left(X_3\right)
    E(S)=4,5+4,5+4,5E\left(S\right)=4,5+4,5+4,5
    Ainsi :
    E(S)=13,5E\left(S\right)=13,5
    Question 7

    Déterminer P(S=24)P(S=24).

    Correction
    On note S=X1+X2+X3S=X_1+X_2+X_3 la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.
    Pour obtenir S=24S=24 il faut donc que les trois jetons piochés soient tous numérotés 88.
    Le premier jeton est 88 ; le deuxième jeton est 88 et le troisième jeton est également 88.
    Il n'y a qu'un unique tirage possible qui donnera (8;8;8)(8 ; 8 ; 8) et d'après la question 11 nous avons 512512 tirages possibles.
    Ainsi :
    P(S=24)=1512P(S=24)=\frac{1}{512}

    Question 8
    Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à 2222 , alors il gagne un lot.

    Justifier qu'il existe exactement 1010 tirages permettant de gagner un lot.

    Correction
    Nous allons dénombrer tous les tirages qui vont nous donner une somme supérieure ou égale à 2222 .
    Le tirage (8;8;8)(8 ; 8 ; 8) donnera une somme égale à 2424 .
    Le tirage (8;8;7)(8 ; 8 ; 7) donnera une somme égale à 2323 .
    Le tirage (8;7;8)(8 ; 7 ; 8) donnera une somme égale à 2323 .
    Le tirage (7;8;8)(7 ; 8 ; 8) donnera une somme égale à 2323 .
    Le tirage (8;8;6)(8 ; 8 ; 6) donnera une somme égale à 2222 .
    Le tirage (8;6;8)(8 ; 6 ; 8) donnera une somme égale à 2222 .
    Le tirage (6;8;8)(6 ; 8 ; 8) donnera une somme égale à 2222 .
    Le tirage (8;7;7)(8 ; 7 ; 7) donnera une somme égale à 2222 .
    Le tirage (7;8;7)(7 ; 8 ; 7) donnera une somme égale à 2222 .
    Le tirage (7;7;8)(7 ; 7 ; 8) donnera une somme égale à 2222 .
    Les autres tirages donneront une somme inférieure ou égale à 2121.
    Il y a donc exactement 1010 tirages permettant d'avoir une somme supérieure ou égale à 2222.
    Autrement dit, il existe exactement 1010 tirages permettant de gagner un lot.
    Question 9

    En déduire la probabilité de gagner un lot.

    Correction
    Notons AA l'évènement gagner un lot.
    p(A)=nombre des issues favorables pour Anombre des issues possiblesp\left(A\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables pour }A}{\text{nombre des issues possibles}}
    p(A)=10512p\left(A\right)=\frac{10}{512}
    Ainsi :
    p(A)=5256p\left(A\right)=\frac{5}{256}