Épreuve d'enseignement de spécialité Antilles-Guyane Sujet 1 - 16 juin 2026 Exercice 1 Partie B : Espérance et variance d'une somme de variables aléatoires - Exercice 1

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Dans le Sud de la France, on compte 1212 réacteurs nucléaires qu'on numérote de 11 à 1212.
On sait que lorsque le réacteur fonctionne normalement, sa production journalière est égale à 1616 GWh (gigawattheure), lorsque le réacteur fonctionne au ralenti, sa production journalière est réduite à 1010 GWh et enfin lorsque le réacteur est à l'arrêt, sa production journalière est nulle.
On note NN l'évènement « le réacteur fonctionne normalement », RR l'évènement « le réacteur fonctionne au ralenti » et AA l'évènement « le réacteur est en arrêt ». On rappelle que P(N)=0,75P\left(N\right)=0{,}75, P(R)=0,05P\left(R\right)=0{,}05 et P(A)=0,20P\left(A\right)=0{,}20.
On désigne par XX la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh d'un réacteur.
Question 1

Recopier le tableau ci-dessous et compléter les pointillés donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire XX. On notera kk les valeurs prises par la variable aléatoire XX et pkp_{k} les probabilités égales à P(X=k)P\left(X=k\right).

Correction
La variable aléatoire XX prend les valeurs 00 (réacteur à l'arrêt), 1010 (réacteur au ralenti) et 1616 (fonctionnement normal) :
  • P(X=0)=P(A)=0,20P\left(X=0\right)=P\left(A\right)=0{,}20 ;
  • P(X=10)=P(R)=0,05P\left(X=10\right)=P\left(R\right)=0{,}05 ;
  • P(X=16)=P(N)=0,75P\left(X=16\right)=P\left(N\right)=0{,}75.
    • Ce qui nous donne :
    Question 2

    Montrer que l'espérance E(X)E\left(X\right) de la variable aléatoire XX est égale à 12,512{,}5 et que sa variance V(X)V\left(X\right) est égale à 40,7540{,}75.

    Correction
      Espeˊrance et variance\red{\text{Espérance et variance}}
  • E(X)=∑ixi P(X=xi)E\left(X\right)=\displaystyle\sum_{i} x_{i}\,P\left(X=x_{i}\right)
  • V(X)=∑iP(X=xi)(xi−E(X))2V\left(X\right)=\displaystyle\sum_{i} P\left(X=x_{i}\right)\left(x_{i}-E\left(X\right)\right)^{2}
    • Espeˊrance :\red{\text{Espérance :}}
    E(X)=0×0,20+10×0,05+16×0,75E\left(X\right)=0\times 0{,}20+10\times 0{,}05+16\times 0{,}75
    E(X)=0+0,5+12E\left(X\right)=0+0{,}5+12
    Ainsi :
    E(X)=12,5E\left(X\right)=12{,}5
    Variance :\red{\text{Variance :}}
    V(X)=0,20×(0−12,5)2+0,05×(10−12,5)2+0,75×(16−12,5)2V\left(X\right)=0{,}20\times\left(0-12{,}5\right)^{2}+0{,}05\times\left(10-12{,}5\right)^{2}+0{,}75\times\left(16-12{,}5\right)^{2}
    V(X)=0,20×156,25+0,05×6,25+0,75×12,25V\left(X\right)=0{,}20\times 156{,}25+0{,}05\times 6{,}25+0{,}75\times 12{,}25
    V(X)=31,25+0,312 5+9,187 5V\left(X\right)=31{,}25+0{,}312\,5+9{,}187\,5
    Ainsi :
    V(X)=40,75V\left(X\right)=40{,}75
    Question 3

    Pour tout entier naturel ii compris entre 11 et 1212, on note XiX_{i} la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh du ii-ème réacteur. Ainsi, par exemple, X2X_{2} désigne la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh du 22e réacteur.
    On suppose que les variables X1X_{1}, X2X_{2}, …, X12X_{12} suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire XX, et qu'elles sont indépendantes.
    On considère la variable aléatoire SS qui donne la production totale journalière des 1212 réacteurs : S=X1+X2+…+X12S=X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{12}.
    Montrer que E(S)=150E\left(S\right)=150 et V(S)=489V\left(S\right)=489.

    Correction
      Espeˊrance et variance d’une somme de variables aleˊatoires\red{\text{Espérance et variance d'une somme de variables aléatoires}}
  • Pour toutes variables aléatoires X1X_{1}, …, XnX_{n} : E(X1+…+Xn)=E(X1)+…+E(Xn)E\left(X_{1}+\ldots+X_{n}\right)=E\left(X_{1}\right)+\ldots+E\left(X_{n}\right).
  • Si X1X_{1}, …, XnX_{n} sont indépendantes : V(X1+…+Xn)=V(X1)+…+V(Xn)V\left(X_{1}+\ldots+X_{n}\right)=V\left(X_{1}\right)+\ldots+V\left(X_{n}\right).
    • Espeˊrance :\red{\text{Espérance :}}
    E(S)=E(X1)+E(X2)+…+E(X12)E\left(S\right)=E\left(X_{1}\right)+E\left(X_{2}\right)+\ldots+E\left(X_{12}\right)
    E(S)=12×E(X)E\left(S\right)=12\times E\left(X\right)
    E(S)=12×12,5E\left(S\right)=12\times 12{,}5
    Ainsi :
    E(S)=150E\left(S\right)=150
    Variance :\red{\text{Variance :}} les variables X1X_{1}, …, X12X_{12} sont indépendantes, donc :
    V(S)=V(X1)+V(X2)+…+V(X12)V\left(S\right)=V\left(X_{1}\right)+V\left(X_{2}\right)+\ldots+V\left(X_{12}\right)
    V(S)=12×V(X)V\left(S\right)=12\times V\left(X\right)
    V(S)=12×40,75V\left(S\right)=12\times 40{,}75
    Ainsi :
    V(S)=489V\left(S\right)=489

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