Épreuve d'enseignement de spécialité Amérique du Nord Sujet 1 - 20 mai 2026 Exercice 1 Partie C : Loi de probabilité, espérance et variance - Exercice 1

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Une plateforme de diffusion musicale propose trois types d'abonnements : « Étudiant », « Classique » et « Famille », ainsi qu'une option « Écoute hors-ligne » qu'on peut activer pour chaque type d'abonnement.
On prélève au hasard le profil d'un abonné et on note EE, CC et FF les évènements « l'abonné a choisi l'abonnement Étudiant », « Classique », « Famille », et HH l'évènement « l'abonné a activé l'option Écoute hors-ligne ».
La partie A de l'exercice a permis de compléter l'arbre de probabilités ci-dessous, avec PF(H)=P(F∩H)P(F)=0,120,15=0,8P_{F}\left(H\right)=\dfrac{P\left(F\cap H\right)}{P\left(F\right)}=\dfrac{0{,}12}{0{,}15}=0{,}8 :
La plateforme propose les tarifs mensuels suivants :
  • abonnement « Étudiant » : 55 € par mois ;
  • abonnement « Classique » : 1010 € par mois ;
  • abonnement « Famille » : 1616 € par mois ;
  • option « Écoute hors-ligne » : 22 € de plus par mois, quel que soit l'abonnement choisi.
    • On note YY la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné.
    Question 1

    Donner les six valeurs possibles prises par la variable aléatoire YY.

    Correction
    Le montant mensuel est le prix de l'abonnement, augmenté de 22 € lorsque l'option « Écoute hors-ligne » est activée :
  • abonnement « Étudiant » : 55 € sans l'option et 5+2=75+2=7 € avec l'option ;
  • abonnement « Classique » : 1010 € sans l'option et 10+2=1210+2=12 € avec l'option ;
  • abonnement « Famille » : 1616 € sans l'option et 16+2=1816+2=18 € avec l'option.
    • Les valeurs possibles de YY sont 55, 77, 1010, 1212, 1616 et 1818.
    Question 2

    Dresser le tableau décrivant la loi de probabilité de la variable aléatoire YY.

    Correction
    Chaque valeur de YY correspond à un seul chemin de l'arbre.
      Probabiliteˊ d’une intersection\red{\text{Probabilité d'une intersection}}
  • P(A∩B)=P(A)×PA(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A}\left(B\right) : on fait le produit des probabilités des branches du chemin.
  • P(Y=5)=P(E∩H‾)=0,25×0,55=0,137 5P\left(Y=5\right)=P\left(E\cap\overline{H}\right)=0{,}25\times 0{,}55=0{,}137\,5 ;
  • P(Y=7)=P(E∩H)=0,25×0,45=0,112 5P\left(Y=7\right)=P\left(E\cap H\right)=0{,}25\times 0{,}45=0{,}112\,5 ;
  • P(Y=10)=P(C∩H‾)=0,6×0,7=0,42P\left(Y=10\right)=P\left(C\cap\overline{H}\right)=0{,}6\times 0{,}7=0{,}42 ;
  • P(Y=12)=P(C∩H)=0,6×0,3=0,18P\left(Y=12\right)=P\left(C\cap H\right)=0{,}6\times 0{,}3=0{,}18 ;
  • P(Y=16)=P(F∩H‾)=0,15×0,2=0,03P\left(Y=16\right)=P\left(F\cap\overline{H}\right)=0{,}15\times 0{,}2=0{,}03 ;
  • P(Y=18)=P(F∩H)=0,12P\left(Y=18\right)=P\left(F\cap H\right)=0{,}12.
    • Vérification : 0,137 5+0,112 5+0,42+0,18+0,03+0,12=10{,}137\,5+0{,}112\,5+0{,}42+0{,}18+0{,}03+0{,}12=1.
    Ainsi, la loi de probabilité de YY est :
    Question 3

    Démontrer que l'espérance mathématique de la variable aléatoire YY vaut 10,47510{,}475 et interpréter ce résultat dans le contexte.

    Correction
      Espeˊrance et variance\red{\text{Espérance et variance}}
  • E(X)=∑ixi P(X=xi)E\left(X\right)=\displaystyle\sum_{i} x_{i}\,P\left(X=x_{i}\right)
  • V(X)=∑iP(X=xi)(xi−E(X))2V\left(X\right)=\displaystyle\sum_{i} P\left(X=x_{i}\right)\left(x_{i}-E\left(X\right)\right)^{2}
    • E(Y)=5×0,137 5+7×0,112 5+10×0,42+12×0,18+16×0,03+18×0,12E\left(Y\right)=5\times 0{,}137\,5+7\times 0{,}112\,5+10\times 0{,}42+12\times 0{,}18+16\times 0{,}03+18\times 0{,}12
    E(Y)=0,687 5+0,787 5+4,2+2,16+0,48+2,16E\left(Y\right)=0{,}687\,5+0{,}787\,5+4{,}2+2{,}16+0{,}48+2{,}16
    Ainsi :
    E(Y)=10,475E\left(Y\right)=10{,}475
    Sur un grand nombre d'abonnés, le montant payé chaque mois par un abonné est en moyenne d'environ 10,4810{,}48 €.
    Question 4

    À l'aide de la calculatrice, donner la variance de la variable aléatoire YY, arrondie au centième.

    Correction
    À la calculatrice (statistiques à une variable, avec les valeurs yiy_{i} et les probabilités P(Y=yi)P\left(Y=y_{i}\right) comme effectifs), on obtient l'écart-type σ(Y)≈3,702\sigma\left(Y\right)\approx 3{,}702, d'où V(Y)=σ(Y)2≈13,70V\left(Y\right)=\sigma\left(Y\right)^{2}\approx 13{,}70.
    On peut le vérifier par le calcul.
      Variance : formule de Ko¨nig-Huygens\red{\text{Variance : formule de König-Huygens}}
  • V(X)=E(X2)−(E(X))2V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\left(E\left(X\right)\right)^{2}, où E(X2)=∑ixi2 P(X=xi)E\left(X^{2}\right)=\displaystyle\sum_{i} x_{i}^{2}\,P\left(X=x_{i}\right).
    • V(Y)=E(Y2)−(E(Y))2=123,43−10,4752V\left(Y\right)=E\left(Y^{2}\right)-\left(E\left(Y\right)\right)^{2}=123{,}43-10{,}475^{2}
    V(Y)=123,43−109,725 625=13,704 375V\left(Y\right)=123{,}43-109{,}725\,625=13{,}704\,375
    Ainsi :
    V(Y)≈13,70V\left(Y\right)\approx 13{,}70

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