Comment calculer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire moyenne - Exercice 2

Nous savons que $$V\left(X\right)= 49$$. Or $$\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}$$
Ce qui nous donne $$\sigma\left(X\right)=\sqrt{49}=7$$.
Comme $$\sigma\left(M_n\right)=\frac{1}{\sqrt{n}} \sigma(X)$$ alors $$\sigma\left(M_n\right)=\frac{7}{\sqrt{n}}$$.
Nous cherchons les valeurs de $$n$$ telles que l’écart type de $$M_n$$ soit inférieur ou égal à $$0,78$$ que nous traduisons à l'aide de cette inéquation : $$\frac{7}{\sqrt{n}}\le 0,78$$
Ainsi :
$${\left(\frac{7}{\sqrt{n}}\right)}^2\le {\left(0,78\right)}^2$$ . Nous avons composé par la fonction $$x\mapsto x^2$$ qui est croissante sur $$\left[0;+\infty\right[$$ donc l'ordre est conservé.
$$\frac{7^2}{{\left(\sqrt{n}\right)}^2}\le 0,6084$$
$$\frac{49}{n}\le 0,6084$$
$$49\le 0,6084\times n$$
$$0,6084\times n\ge 49$$
$$n\ge \frac{49}{0,6084}$$
Comme $$\frac{49}{0,6084}\approx 80,54$$ alors $$n\ge 81$$
Donc l’écart type de $$M_n$$ est inférieur ou égal à $$0,78$$ pour .