Comment calculer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire moyenne - Exercice 2
7 min
20
Soit X une variable aléatoire. On donne E(X)=100 et V(X)=49. On considère les variables aléatoires X1;⋯;Xn identiques à X et indépendantes. On note Mn la variable aléatoire qui, à un échantillon de taille n, associe la moyenne Mn=nX1+X2+⋯+Xn.
Question 1
Quelles sont les valeurs de n telles que l’écart type de Mn soit inférieur ou égal à 0,78 ?
Correction
On considère une variable aléatoire X. Soit un échantillon (X1,X2,…,Xn) de taille n de variables aléatoires identiques à X et indépendantes. On note Mn la variable aléatoire moyenne de cet échantillon. Ainsi :
L'espérance de Mn est donnée par la formule : E(Mn)=E(X)
La variance de Mn est donnée par la formule : V(Mn)=n1V(X)
L'écart type de Mn est donnée par la formule : σ(Mn)=n1σ(X)
Nous savons que V(X)=49. Or σ(X)=V(X) Ce qui nous donne σ(X)=49=7. Comme σ(Mn)=n1σ(X) alors σ(Mn)=n7. Nous cherchons les valeurs de n telles que l’écart type de Mn soit inférieur ou égal à 0,78 que nous traduisons à l'aide de cette inéquation : n7≤0,78 Ainsi : (n7)2≤(0,78)2 . Nous avons composé par la fonction x↦x2 qui est croissante sur [0;+∞[ donc l'ordre est conservé. (n)272≤0,6084 n49≤0,6084 49≤0,6084×n 0,6084×n≥49 n≥0,608449 Comme 0,608449≈80,54 alors n≥81 Donc l’écart type de Mn est inférieur ou égal à 0,78 pour
n≥81
.
Signaler une erreur
Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.
Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.