Sommes de deux variables

Comment calculer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire moyenne - Exercice 2

7 min
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Soit XX une variable aléatoire. On donne E(X)=100E\left(X\right)=100 et V(X)=49V\left(X\right)=49.
On considère les variables aléatoires X1;;XnX_1;\cdots;X_{n} identiques à XX et indépendantes.
On note MnM_{n} la variable aléatoire qui, à un échantillon de taille nn, associe la moyenne Mn=X1+X2++XnnM_{n}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_{n}}{n}.
Question 1

Quelles sont les valeurs de nn telles que l’écart type de MnM_n soit inférieur ou égal à 0,780,78 ?

Correction
On considère une variable aléatoire XX. Soit un échantillon (X1,X2,,Xn)\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right) de taille nn de variables aléatoires identiques à XX et indépendantes.
On note MnM_n la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
Ainsi :
  • L'espérance de MnM_n est donnée par la formule : E(Mn)=E(X)E\left(M_n\right)=E(X)
  • La variance de MnM_n est donnée par la formule : V(Mn)=1nV(X)V\left(M_n\right)=\frac{1}{n} V(X)
  • L'écart type de MnM_n est donnée par la formule : σ(Mn)=1nσ(X) \sigma\left(M_n\right)=\frac{1}{\sqrt{n}} \sigma(X)
  • Nous savons que V(X)=49V\left(X\right)= 49. Or σ(X)=V(X)\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}
    Ce qui nous donne σ(X)=49=7\sigma\left(X\right)=\sqrt{49}=7.
    Comme σ(Mn)=1nσ(X) \sigma\left(M_n\right)=\frac{1}{\sqrt{n}} \sigma(X) alors σ(Mn)=7n \sigma\left(M_n\right)=\frac{7}{\sqrt{n}} .
    Nous cherchons les valeurs de nn telles que l’écart type de MnM_n soit inférieur ou égal à 0,780,78 que nous traduisons à l'aide de cette inéquation : 7n0,78\frac{7}{\sqrt{n}}\le 0,78
    Ainsi :
    (7n)2(0,78)2{\left(\frac{7}{\sqrt{n}}\right)}^2\le {\left(0,78\right)}^2 . Nous avons composé par la fonction xx2x\mapsto x^2 qui est croissante sur [0;+[\left[0;+\infty\right[ donc l'ordre est conservé.
    72(n)20,6084\frac{7^2}{{\left(\sqrt{n}\right)}^2}\le 0,6084
    49n0,6084\frac{49}{n}\le 0,6084
    490,6084×n49\le 0,6084\times n
    0,6084×n490,6084\times n\ge 49
    n490,6084n\ge \frac{49}{0,6084}
    Comme 490,608480,54\frac{49}{0,6084}\approx 80,54 alors n81n\ge 81
    Donc l’écart type de MnM_n est inférieur ou égal à 0,780,78 pour
    n81n\ge 81
    .