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Comment calculer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire moyenne - Exercice 1

5 min
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Soit XX une variable aléatoire. On donne E(X)=60E\left(X\right)=60 et V(X)=36V\left(X\right)= 36.
On considère les variables aléatoires X1;⋯ ;X10X_1;\cdots;X_{10} identiques à XX et indépendantes.
On note M10M_{10} la variable aléatoire qui, à un échantillon de taille 1010, associe la moyenne M10=X1+X2+⋯+X1010M_{10}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_{10}}{10}.
Question 1

Quelle est l’espérance de M10M_{10} ?

Correction
On considère une variable aléatoire XX. Soit un échantillon (X1,X2,…,Xn)\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right) de taille nn de variables aléatoires identiques à XX et indépendantes.
On note MnM_n la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
Ainsi :
  • L'espérance de MnM_n est donnée par la formule : E(Mn)=E(X)E\left(M_n\right)=E(X)
  • La variance de MnM_n est donnée par la formule : V(Mn)=1nV(X)V\left(M_n\right)=\frac{1}{n} V(X)
  • L'écart type de MnM_n est donnée par la formule : σ(Mn)=1nσ(X) \sigma\left(M_n\right)=\frac{1}{\sqrt{n}} \sigma(X)
    • Nous savons que E(X)=60E\left(X\right)=60, il en résulte donc que
    E(M10)=60E\left(M_{10}\right)=60
    .
    Question 2

    Calculer la valeur de V(M10)V\left(M_{10}\right) .

    Correction
    On considère une variable aléatoire XX. Soit un échantillon (X1,X2,…,Xn)\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right) de taille nn de variables aléatoires identiques à XX et indépendantes.
    On note MnM_n la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
    Ainsi :
  • L'espérance de MnM_n est donnée par la formule : E(Mn)=E(X)E\left(M_n\right)=E(X)
  • La variance de MnM_n est donnée par la formule : V(Mn)=1nV(X)V\left(M_n\right)=\frac{1}{n} V(X)
  • L'écart type de MnM_n est donnée par la formule : σ(Mn)=1nσ(X) \sigma\left(M_n\right)=\frac{1}{\sqrt{n}} \sigma(X)
    • Nous savons que V(X)=36V\left(X\right)= 36.
    en utilisant le rappel, il en résulte donc que :
    V(M10)=110×36V\left(M_{10}\right)=\frac{1}{10}\times 36
    Ainsi :
    V(M10)=3,6V\left(M_{10}\right)=3,6
    .
    Question 3

    En déduire σ(M10) \sigma\left(M_{10}\right) .

    Correction
    On considère une variable aléatoire XX. Soit un échantillon (X1,X2,…,Xn)\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right) de taille nn de variables aléatoires identiques à XX et indépendantes.
    On note MnM_n la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
    Ainsi :
  • L'espérance de MnM_n est donnée par la formule : E(Mn)=E(X)E\left(M_n\right)=E(X)
  • La variance de MnM_n est donnée par la formule : V(Mn)=1nV(X)V\left(M_n\right)=\frac{1}{n} V(X)
  • L'écart type de MnM_n est donnée par la formule : σ(Mn)=1nσ(X) \sigma\left(M_n\right)=\frac{1}{\sqrt{n}} \sigma(X)
    • Nous savons que V(X)=36V\left(X\right)= 36. Or σ(X)=V(X)\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}
    Ce qui nous donne σ(X)=36=6\sigma\left(X\right)=\sqrt{36}=6.
    Enfin :
    σ(M10)=110×σ(X) \sigma\left(M_{10}\right)=\frac{1}{\sqrt{10}} \times\sigma(X)
    σ(M10)=110×6 \sigma\left(M_{10}\right)=\frac{1}{\sqrt{10}} \times 6
    Ainsi :
    σ(M10)=610 \sigma\left(M_{10}\right)=\frac{6}{\sqrt{10}}
    .

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