Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Vecteurs colinéaires : Rappels - Exercice 6

4 min
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On donne les points A(1;1;1)A\left(1;1;1\right) , B(4;1;5)B\left(4;1;5\right) et C(2;1;0)C\left(2;1;0\right).
Question 1

Démontrer que les points AA, BB et CC définissent un plan.

Correction
Calculons les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} et ensuite si les vecteurs ne sont pas colineˊaires\red{\text{ne sont pas colinéaires}} alors les points A,BA,B et CC définissent un plan .
AB→(304)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \\ {4} \end{array}\right) et AC→(10−1)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {-1} \end{array}\right). Existe-t-il un réel kk tel que AB→=kAC→\overrightarrow{AB} =k\overrightarrow{AC} ?
On obtient le système suivant {3=k0=04=−k\left\{\begin{array}{ccc} {3} & {=} & {k} \\ {0} & {=} & {0} \\ {4} & {=} & {-k} \end{array}\right.
Ainsi {k=30=0k=−4\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {3} \\ {0} & {=} & {0} \\ {k} & {=} & {-4} \end{array}\right.
Nous obtenons deux valeurs différentes pour kk .
Dans ce cas, AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires, donc les points A,BA,B et CC ne sont pas alignés.
  • Les points AA, BB et CC n'étant pas alignés, il en résulte que les points AA, BB et CC deˊfinissent un plan\red{\text{définissent un plan}} .