Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Vecteurs colinéaires : Rappels - Exercice 4

4 min
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On donne les points A(1;2;3)A\left(1;2;3\right) , B(3;−1;2)B\left(3;-1;2\right) , C(3;3;2)C\left(3;3;2\right) et D(−1;1;2)D\left(-1;1;2\right).
Question 1

Les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont-elles parallèles ?

Correction
Calculons les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} et ensuite si les vecteurs sont colinéaires alors les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles.
AB→(2−3−1)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-1} \end{array}\right) et CD→(−4−20)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {-2} \\ {0} \end{array}\right). Existe-t-il un réel kk tel que AB→=kCD→\overrightarrow{AB} =k\overrightarrow{CD} ?
On obtient le système suivant {2=−4k−3=−2k−1=0\left\{\begin{array}{ccc} {2} & {=} & {-4k} \\ {-3} & {=} & {-2k} \\ {-1} & {=} & {0} \end{array}\right.
Ici le système est impossible car −1=0-1=0 est faux\red{\text{faux}}.
Dans ce cas, AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} ne sont pas colinéaires, donc les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) ne sont pas parallèles.