Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Vecteurs colinéaires : Rappels - Exercice 2

4 min
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On donne les points A(2;3;1)A\left(2;3;1\right) , B(3;0;−1)B\left(3;0;-1\right) et C(1;2;−1)C\left(1;2;-1\right).
Question 1

Ces points sont-ils alignés ?

Correction
Calculons les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} et ensuite si les vecteurs sont colinéaires alors les points A,BA,B et CC sont alignés.
AB→(1−3−2)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-3} \\ {-2} \end{array}\right) et AC→(−1−1−2)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-1} \\ {-2} \end{array}\right). Existe-t-il un réel kk tel que AB→=kAC→\overrightarrow{AB} =k\overrightarrow{AC} ?
On obtient le système suivant {1=−k−3=−k−2=−2k\left\{\begin{array}{ccc} {1} & {=} & {-k} \\ {-3} & {=} & {-k} \\ {-2} & {=} & {-2k} \end{array}\right.
Ainsi {k=−1k=3k=1\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {-1} \\ {k} & {=} & {3} \\ {k} & {=} & {1} \end{array}\right. .
Dans ce cas, AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires, donc les points A,BA,B et CC ne sont pas alignés.
  • Les points AA, BB et CC n'étant pas alignés, il en résulte que les points AA, BB et CC deˊfinissent un plan\red{\text{définissent un plan}} .