Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace
Vecteurs colinéaires : Rappels
Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, précisez si les vecteurs u et v sont colinéaires.
1
u(1;−3;1) et v(2;2;3)
Correction
Les vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que u=kv.
Soit k un réel. La relation u=kv permet d'écrire le système suivant : ⎩⎨⎧1−31===2k2k3k Ainsi : ⎩⎨⎧kkk===21−2331 . Les trois valeurs de k ne sont pas égales. Dans ce cas, u et v ne sont pas colinéaires.
2
u(1;2;1) et v(2;4;2)
Correction
Les vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que u=kv.
Soit k un réel. La relation u=kv permet d'écrire le système suivant : ⎩⎨⎧121===2k4k2k Ainsi : ⎩⎨⎧kkk===212121 . Les trois valeurs de k sont égales. Dans ce cas, u et v sont colinéaires.
3
u(7;4;−8) et v(−221;−6;12)
Correction
Les vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que u=kv.
Soit k un réel. La relation u=kv permet d'écrire le système suivant : ⎩⎨⎧74−8===−221k−6k12k Ainsi : ⎩⎨⎧kkk===−32−32−32 . Les trois valeurs de k sont égales. Dans ce cas, u et v sont colinéaires.
4
Déterminez les nombres x et y pour lesquels les vecteurs u(4;x;10) et v(−8;12;y) sont colinéaires.
Correction
Les vecteurs u(4;x;10) et v(−8;12;y) sont colinéaires s'ils sont proportionnels. Autrement dit : −84=12x et −84=y10 Il ne nous reste ensuite qu'à faire des produits en croix. Cela donne :
x=−84×12=−6
y=410×(−8)=−20
Les vecteurs u(4;x;10) et v(−8;12;y) sont colinéaires si et seulement si x=−6 et y=−20 .
Exercice 2
On donne les points A(2;3;1) , B(3;0;−1) et C(1;2;−1).
1
Ces points sont-ils alignés ?
Correction
Calculons les vecteurs AB et AC et ensuite si les vecteurs sont colinéaires alors les points A,B et C sont alignés.
AB⎝⎛1−3−2⎠⎞ et AC⎝⎛−1−1−2⎠⎞. Existe-t-il un réel k tel que AB=kAC ? On obtient le système suivant ⎩⎨⎧1−3−2===−k−k−2k Ainsi ⎩⎨⎧kkk===−131 . Dans ce cas, AB et AC ne sont pas colinéaires, donc les points A,B et C ne sont pas alignés.
Les points A, B et C n'étant pas alignés, il en résulte que les points A, B et Cdeˊfinissent un plan .
Exercice 3
On donne les points A(−1;2;−2) , B(2;3;−1) et C(−4;1;−3).
1
Ces points sont-ils alignés ?
Correction
Calculons les vecteurs AB et AC et ensuite si les vecteurs sont colinéaires alors les points A,B et C sont alignés.
AB⎝⎛311⎠⎞ et AC⎝⎛−3−1−1⎠⎞. Existe-t-il un réel k tel que AB=kAC ? On obtient le système suivant ⎩⎨⎧311===−3k−k−k Ainsi ⎩⎨⎧kkk===−1−1−1 . Dans ce cas, AB et AC sont colinéaires, donc les points A,B et C sont alignés.
Exercice 4
On donne les points A(1;2;3) , B(3;−1;2) , C(3;3;2) et D(−1;1;2).
1
Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
Correction
Calculons les vecteurs AB et CD et ensuite si les vecteurs sont colinéaires alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
AB⎝⎛2−3−1⎠⎞ et CD⎝⎛−4−20⎠⎞. Existe-t-il un réel k tel que AB=kCD ? On obtient le système suivant ⎩⎨⎧2−3−1===−4k−2k0 Ici le système est impossible car −1=0 est faux. Dans ce cas, AB et CD ne sont pas colinéaires, donc les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.
Exercice 5
On donne les points A(1;3;0) , B(3;4;1) , C(4;1;3) et D(2;0;2).
1
Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
Correction
Calculons les vecteurs AB et CD et ensuite si les vecteurs sont colinéaires alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
AB⎝⎛211⎠⎞ et CD⎝⎛−2−1−1⎠⎞. Existe-t-il un réel k tel que AB=kCD ? On obtient le système suivant ⎩⎨⎧211===−2k−k−k Ainsi ⎩⎨⎧kkk===−1−1−1 Dans ce cas, AB et CD sont colinéaires, donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Exercice 6
On donne les points A(1;1;1) , B(4;1;5) et C(2;1;0).
1
Démontrer que les points A, B et C définissent un plan.
Correction
Calculons les vecteurs AB et AC et ensuite si les vecteurs ne sont pas colineˊaires alors les points A,B et C définissent un plan .
AB⎝⎛304⎠⎞ et AC⎝⎛10−1⎠⎞. Existe-t-il un réel k tel que AB=kAC ? On obtient le système suivant ⎩⎨⎧304===k0−k Ainsi ⎩⎨⎧k0k===30−4 Nous obtenons deux valeurs différentes pour k . Dans ce cas, AB et AC ne sont pas colinéaires, donc les points A,B et C ne sont pas alignés.
Les points A, B et C n'étant pas alignés, il en résulte que les points A, B et Cdeˊfinissent un plan .
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