Vecteurs colinéaires : Rappels

Soit $k$ un réel. La relation $\overrightarrow{u} =k\overrightarrow{v}$ permet d'écrire le système suivant : $\left\{\begin{array}{ccc} {1} & {=} & {2k} \\ {-3} & {=} & {2k} \\ {1} & {=} & {3k} \end{array}\right.$
Ainsi : $\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {k} & {=} & {-\frac{3}{2} } \\ {k} & {=} & {\frac{1}{3} } \end{array}\right.$ .
Les trois valeurs de $k$ ne sont pas égales.
Dans ce cas, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.

Soit $k$ un réel. La relation $\overrightarrow{u} =k\overrightarrow{v}$ permet d'écrire le système suivant : $\left\{\begin{array}{ccc} {1} & {=} & {2k} \\ {2} & {=} & {4k} \\ {1} & {=} & {2k} \end{array}\right.$
Ainsi : $\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {k} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {k} & {=} & {\frac{1}{2} } \end{array}\right.$ .
Les trois valeurs de $k$ sont égales.
Dans ce cas, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

Soit $k$ un réel. La relation $\overrightarrow{u} =k\overrightarrow{v}$ permet d'écrire le système suivant : $\left\{\begin{array}{ccc} {7} & {=} & {-\frac{21}{2} k} \\ {4} & {=} & {-6k} \\ {-8} & {=} & {12k} \end{array}\right.$
Ainsi : $\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {-\frac{2}{3} } \\ {k} & {=} & {-\frac{2}{3} } \\ {k} & {=} & {-\frac{2}{3} } \end{array}\right.$ .
Les trois valeurs de $k$ sont égales.
Dans ce cas, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

Les vecteurs $\overrightarrow{u} \left(4;x;10\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(-8 ;12;y\right)$ sont colinéaires s'ils sont proportionnels.
Autrement dit : $\frac{4}{-8} =\frac{x}{12}$ et $\frac{4}{-8} =\frac{10}{y}$
Il ne nous reste ensuite qu'à faire des produits en croix. Cela donne :

$x=\frac{4\times 12}{-8} =-6$

$y=\frac{10\times \left(-8\right)}{4} =-20$

Les vecteurs $\overrightarrow{u} \left(4;x;10\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(-8 ;12;y\right)$ sont colinéaires si et seulement si $x=-6$ et $y=-20$ .

$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-3} \\ {-2} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-1} \\ {-2} \end{array}\right)$. Existe-t-il un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB} =k\overrightarrow{AC}$ ?
On obtient le système suivant $\left\{\begin{array}{ccc} {1} & {=} & {-k} \\ {-3} & {=} & {-k} \\ {-2} & {=} & {-2k} \end{array}\right.$
Ainsi $\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {-1} \\ {k} & {=} & {3} \\ {k} & {=} & {1} \end{array}\right.$ .
Dans ce cas, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires, donc les points $A,B$ et $C$ ne sont pas alignés.

$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-1} \\ {-1} \end{array}\right)$. Existe-t-il un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB} =k\overrightarrow{AC}$ ?
On obtient le système suivant $\left\{\begin{array}{ccc} {3} & {=} & {-3k} \\ {1} & {=} & {-k} \\ {1} & {=} & {-k} \end{array}\right.$
Ainsi $\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {-1} \\ {k} & {=} & {-1} \\ {k} & {=} & {-1} \end{array}\right.$ .
Dans ce cas, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, donc les points $A,B$ et $C$ sont alignés.

$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-1} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {-2} \\ {0} \end{array}\right)$. Existe-t-il un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB} =k\overrightarrow{CD}$ ?
On obtient le système suivant $\left\{\begin{array}{ccc} {2} & {=} & {-4k} \\ {-3} & {=} & {-2k} \\ {-1} & {=} & {0} \end{array}\right.$
Ici le système est impossible car $-1=0$ est $\red{\text{faux}}$.
Dans ce cas, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas colinéaires, donc les droites $\left(AB\right)$ et $\left(CD\right)$ ne sont pas parallèles.

$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \\ {-1} \end{array}\right)$.
Existe-t-il un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB} =k\overrightarrow{CD}$ ?
On obtient le système suivant $\left\{\begin{array}{ccc} {2} & {=} & {-2k} \\ {1} & {=} & {-k} \\ {1} & {=} & {-k} \end{array}\right.$ Ainsi $\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {-1} \\ {k} & {=} & {-1} \\ {k} & {=} & {-1} \end{array}\right.$
Dans ce cas, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, donc les droites $\left(AB\right)$ et $\left(CD\right)$ sont parallèles.

$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \\ {4} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {-1} \end{array}\right)$. Existe-t-il un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB} =k\overrightarrow{AC}$ ?
On obtient le système suivant $\left\{\begin{array}{ccc} {3} & {=} & {k} \\ {0} & {=} & {0} \\ {4} & {=} & {-k} \end{array}\right.$
Ainsi $\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {3} \\ {0} & {=} & {0} \\ {k} & {=} & {-4} \end{array}\right.$
Nous obtenons deux valeurs différentes pour $k$ .
Dans ce cas, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires, donc les points $A,B$ et $C$ ne sont pas alignés.