Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Répresentation paramétrique d'une droite - Exercice 5

5 min
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Question 1
On donne les points A(2;1;1)A\left(-2;1;1\right), B(0;1;0)B\left(0;1;0\right)

Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB)\left(AB\right) .

Correction
    On commence par calculer le vecteur AB\overrightarrow{AB} qui est un vecteur directeur de la droite (AB)\left(AB\right).
    Ensuite soit MM un point de cordonnées (x;y;z)\left(x;y;z\right) qui appartient à la droite (AB)\left(AB\right).
    Cela signifie que les points A,BA,B et MM sont alignés donc les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AM\overrightarrow{AM} sont colinéaires.
    Il existe alors un réel tt tel que AM=tAB\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}. On aura ainsi la droite (AB)\left(AB\right).
Soit le point M(x;y;z)M\left(x;y;z\right) appartenant à la droite (AB)\left(AB\right) .
Cela donne :
AB=(201)\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {0} \\ {-1} \end{array}\right) puis AM=(x+2y1z1)\overrightarrow{AM}=\left(\begin{array}{c} {x+2} \\ {y-1} \\ {z-1} \end{array}\right)
Les points AA, BB et MM sont alignés, donc les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AM\overrightarrow{AM} sont colinéaires.
Cela se traduit par :
AM=tAB\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}, ce qui donne {x+2=2ty1=0z1=t\left\{\begin{array}{ccc} {x+2} & {=} & {2t} \\ {y-1} & {=} & {0} \\ {z-1} & {=} & {-t} \end{array}\right. tRt\in \mathbb{R}
Finalement l'équation paramétrique de (AB)\left(AB\right) est :
{x=2t2y=1z=t+1\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2t-2} \\ {y} & {=} & {1} \\ {z} & {=} & {-t+1} \end{array}\right. tRt\in \mathbb{R}