Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Répresentation paramétrique d'une droite - Exercice 4

5 min
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On donne les points A(1;3;0)A\left(1;3;0\right), B(0;−1;1)B\left(0;-1;1\right)
Question 1

La droite ci-dessous est-elle une représentation paramétrique de la droite (AB)\left(AB\right) ?
{x=2t+1y=t+4z=t+3\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2t+1} \\ {y} & {=} & {t+4} \\ {z} & {=} & {t+3} \end{array}\right.

Correction
    Meˊthode aˋ retenir\red{\text{Méthode à retenir}}
Ici ne calculez pas l'équation de la droite car vous ne trouverez pas celle qui est donnée. En effet, il y a une infinité d'écriture paramétrique possible pour une droite.
Vérifiez simplement si les points A(1;3;0)A\left(1;3;0\right) et B(3;4;1)B\left(3;4;1\right) appartiennent à la droite qui vous a été donnée dans l'énoncé.
On remplace les coordonnées de A(1;3;0)A\left(1;3;0\right) dans l'équation de la droite donnée.
Donc {xA=2t+1yA=t+4zA=t+3\left\{\begin{array}{ccc} {x_{A} } & {=} & {2t+1} \\ {y_{A} } & {=} & {t+4} \\ {z_{A} } & {=} & {t+3} \end{array}\right. ce qui donne {1=2t+13=t+40=t+3\left\{\begin{array}{ccc} {1} & {=} & {2t+1} \\ {3} & {=} & {t+4} \\ {0} & {=} & {t+3} \end{array}\right.
Puis on résout les équations et on doit pour chaque ligne trouver la même valeur de tt pour que le point AA appartienne à la droite donnée.
{2t+1=1t+4=3t+3=0\left\{\begin{array}{ccc} {2t+1} & {=} & {1} \\ {t+4} & {=} & {3} \\ {t+3} & {=} & {0} \end{array}\right. équivaut successivement à :
{2t=1−1t=3−4t=−3\left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {1-1} \\ {t} & {=} & {3-4} \\ {t} & {=} & {-3} \end{array}\right.
{2t=0t=−1t=−3\left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {0} \\ {t} & {=} & {-1} \\ {t} & {=} & {-3} \end{array}\right.
Ainsi : {t=0t=−1t=−3\left\{\begin{array}{ccc} {t} & {=} & {0} \\ {t} & {=} & {-1} \\ {t} & {=} & {-3} \end{array}\right. . Donc le point A(1;3;0)A\left(1;3;0\right) n'appartient pas à la droite.
On peut conclure que la droite {x=2t+1y=t+4z=t+3\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2t+1} \\ {y} & {=} & {t+4} \\ {z} & {=} & {t+3} \end{array}\right. n'est pas une écriture paramétrique de la droite (AB)\left(AB\right).
Si le point AA appartient à la droite, vous devrez ensuite vérifier que le point BB appartienne également à la droite.
Si c'est le cas alors la droite donnée est une écriture paramétrique de la droite.