Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Répresentation paramétrique d'une droite - Exercice 3

5 min
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On donne les points A(1;3;0)A\left(1;3;0\right), B(3;4;1)B\left(3;4;1\right) .
Question 1

Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB)\left(AB\right) .

Correction
    On commence par calculer le vecteur AB→\overrightarrow{AB} qui est un vecteur directeur de la droite (AB)\left(AB\right).
    Ensuite soit MM un point de cordonnées (x;y;z)\left(x;y;z\right) qui appartient à la droite (AB)\left(AB\right).
    Cela signifie que les points A,BA,B et MM sont alignés donc les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AM→\overrightarrow{AM} sont colinéaires.
    Il existe alors un réel tt tel que AM→=tAB→\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}. On aura ainsi la droite (AB)\left(AB\right).
Soit le point M(x;y;z)M\left(x;y;z\right) appartenant à la droite (AB)\left(AB\right) .
Cela donne :
AB→=(211)\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right) puis AM→=(x−1y−3z)\overrightarrow{AM}=\left(\begin{array}{c} {x-1} \\ {y-3} \\ {z} \end{array}\right)
Les points AA, BB et MM sont alignés, donc les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AM→\overrightarrow{AM} sont colinéaires.
Cela se traduit par :
AM→=tAB→\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}, ce qui donne {x−1=2ty−3=tz=t\left\{\begin{array}{ccc} {x-1} & {=} & {2t} \\ {y-3} & {=} & {t} \\ {z} & {=} & {t} \end{array}\right. où t∈Rt\in \mathbb{R}
Finalement l'équation paramétrique de (AB)\left(AB\right) est :
{x=2t+1y=t+3z=t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2t+1} \\ {y} & {=} & {t+3} \\ {z} & {=} & {t} \end{array}\right. où t∈Rt\in \mathbb{R}