Répresentation paramétrique d'une droite - Exercice 2

Soit le point $$M\left(x;y;z\right)$$ appartenant à la droite $$\left(AB\right)$$ .
Cela donne :
$$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \\ {-2} \end{array}\right)$$ puis $$\overrightarrow{AM}=\left(\begin{array}{c} {x-2} \\ {y+1} \\ {z-4} \end{array}\right)$$
Les points $$A$$, $$B$$ et $$M$$ sont alignés, donc les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AM}$$ sont colinéaires.
Cela se traduit par :
$$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$$, ce qui donne $$\left\{\begin{array}{ccc} {x-2} & {=} & {3t} \\ {y+1} & {=} & {7t} \\ {z-4} & {=} & {-2t} \end{array}\right.$$ où $$t\in \mathbb{R}$$
Finalement l'équation paramétrique de $$\left(AB\right)$$ est :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {3t+2} \\ {y} & {=} & {7t-1} \\ {z} & {=} & {-2t+4} \end{array}\right.$$ où $$t\in \mathbb{R}$$

On remplace les coordonnées de $$C\left(3,0,1\right)$$ dans l'équation de la droite $$\left(AB \right)$$
Donc $$\left\{\begin{array}{ccc} {x_{C}} & {=} & {3t+2} \\ {y_{C}} & {=} & {7t-1} \\ {z_{C}} & {=} & {-2t+4} \end{array}\right.$$ ce qui donne $$\left\{\begin{array}{ccc} {3} & {=} & {3t+2} \\ {0} & {=} & {7t-1} \\ {1} & {=} & {-2t+4} \end{array}\right.$$
Puis on résout les équations et on doit pour chaque ligne trouver la même valeur de $$t$$ pour que le point $$C$$ appartienne à $$\left(AB \right)$$ .
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3t+2} & {=} & {3} \\ {7t-1} & {=} & {0} \\ {-2t+4} & {=} & {1} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3t} & {=} & {3-2} \\ {7t} & {=} & {1} \\ {-2t} & {=} & {1-4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3t} & {=} & {1} \\ {7t} & {=} & {1} \\ {-2t} & {=} & {-3} \end{array}\right.$$
Ainsi : $$\left\{\begin{array}{ccc} {t} & {=} & {\frac{1}{3}} \\ {t} & {=} & {\frac{1}{7}} \\ {t} & {=} & {\frac{3}{2}} \end{array}\right.$$.
Donc le point $$C\left(3,0,1\right)$$ n'appartient à la droite $$\left(AB \right)$$ car les valeurs de $$t$$ $$\red{\text{sont différentes.}}$$