Répresentation paramétrique d'une droite - Exercice 1

$$\overrightarrow{u} =\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right)$$
Il faut prendre les coefficients devant les $$t$$ afin d'avoir les coordonnées du vecteur directeur.

On remplace les coordonnées de $$I$$ dans l'équation de la droite $$\left(d_{1} \right)$$
Donc $$\left\{\begin{array}{ccc} {x_{I} } & {=} & {2t+1} \\ {y_{I} } & {=} & {-t} \\ {z_{I} } & {=} & {t+3} \end{array}\right.$$ ce qui donne $$\left\{\begin{array}{ccc} {-1} & {=} & {2t+1} \\ {1} & {=} & {-t} \\ {2} & {=} & {t+3} \end{array}\right.$$
Puis on résout les équations et on doit pour chaque ligne trouver la même valeur de $$t$$ pour que le point $$I$$ appartienne à $$\left(d_{1} \right)$$ .
$$\left\{\begin{array}{ccc} {2t+1} & {=} & {-1} \\ {-t} & {=} & {1} \\ {t+3} & {=} & {2} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {-1-1} \\ {t} & {=} & {-1} \\ {t} & {=} & {2-3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {-2} \\ {t} & {=} & {-1} \\ {t} & {=} & {-1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {t} & {=} & {-\frac{2}{2} } \\ {t} & {=} & {-1} \\ {t} & {=} & {-1} \end{array}\right.$$
Ainsi : $$\left\{\begin{array}{ccc} {t} & {=} & {-1} \\ {t} & {=} & {-1} \\ {t} & {=} & {-1} \end{array}\right.$$.
Donc le point $$I\left(-1;1,2\right)$$ appartient à la droite $$\left(d_{1} \right)$$.

On remplace les coordonnées de $$J$$ dans l'équation de la droite $$\left(d_{1} \right)$$.
Donc $$\left\{\begin{array}{ccc} {x_{J} } & {=} & {2t+1} \\ {y_{J} } & {=} & {-t} \\ {z_{J} } & {=} & {t+3} \end{array}\right.$$ ce qui donne $$\left\{\begin{array}{ccc} {2} & {=} & {2t+1} \\ {0} & {=} & {-t} \\ {1} & {=} & {t+3} \end{array}\right.$$
Puis on résout les équations et on doit pour chaque ligne trouver la même valeur de $$t$$ pour que le point $$J$$ appartienne à $$\left(d_{1} \right)$$ .
$$\left\{\begin{array}{ccc} {2t+1} & {=} & {2} \\ {-t} & {=} & {0} \\ {t+3} & {=} & {1} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {2-1} \\ {t} & {=} & {0} \\ {t} & {=} & {1-3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {1} \\ {t} & {=} & {0} \\ {t} & {=} & {-2} \end{array}\right.$$
Ainsi : $$\left\{\begin{array}{ccc} {t} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {t} & {=} & {0} \\ {t} & {=} & {-2} \end{array}\right.$$.
Donc le point $$J\left(2,0,1\right)$$ n'appartient à la droite $$\left(d_{1} \right)$$ car les valeurs de $$t$$ $$\red{\text{sont différentes.}}$$

On a alors $$A\left(2;y_{A} ;z_{A} \right)$$ qui appartient à $$\left(d_{1} \right)$$
Donc $$\left\{\begin{array}{ccc} {x_{A} } & {=} & {2t+1} \\ {y_{A} } & {=} & {-t} \\ {z_{A} } & {=} & {t+3} \end{array}\right.$$ ce qui donne $$\left\{\begin{array}{ccc} {2} & {=} & {2t+1} \\ {y_{A} } & {=} & {-t} \\ {z_{A} } & {=} & {t+3} \end{array}\right.$$
On résout la $$1$$^ère équation afin d'obtenir $$t$$, ensuite on remplace $$t$$ dans la $$2$$^ème équation et la $$3$$^ème équation afin de déterminer respectivement $$y_{A}$$ et $$z_{A}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {t} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {y_{A} } & {=} & {-t} \\ {z_{A} } & {=} & {t+3} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à
$$\left\{\begin{array}{ccc} {t} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {y_{A} } & {=} & {-\frac{1}{2} } \\ {z_{A} } & {=} & {\frac{1}{2} +3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {t} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {y_{A} } & {=} & {-\frac{1}{2} } \\ {z_{A} } & {=} & {\frac{7}{2} } \end{array}\right.$$
Les coordonnées de $$A$$ sont $$\left(2;\frac{-1}{2} ;\frac{7}{2} \right)$$