Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Répresentation paramétrique d'une droite - Exercice 1

10 min
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La droite (d1)\left(d_{1} \right) a pour représentation paramétrique {x=2t+1y=−tz=t+3\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2t+1} \\ {y} & {=} & {-t} \\ {z} & {=} & {t+3} \end{array}\right. où t∈Rt\in \mathbb{R}
Question 1

Déterminer un vecteur directeur u→\overrightarrow{u} de (d1)\left(d_{1} \right)

Correction
    Soit une droite (Δ)\left(\Delta\right) définie par un point A(xA;yA;zA)A\left(x_{A};y_{A};z_{A}\right) et un vecteur directeur u→(a;b;c)\overrightarrow{u}\left(a;b;c\right).
    La droite (Δ)\left(\Delta\right) admet donc un système d’équations paramétriques, appelé représentation paramétrique, de la forme : {x=xA+aty=yA+btz=zA+ct\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {x_{A}+at} \\ {y} & {=} & {y_{A}+bt} \\ {z} & {=} & {z_{A}+ct} \end{array}\right. où t∈Rt\in \mathbb{R}
u→=(2−11)\overrightarrow{u} =\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right)
Il faut prendre les coefficients devant les tt afin d'avoir les coordonnées du vecteur directeur.
Question 2

La droite (d1)\left(d_{1} \right) passe-t-elle par le point I(−1;1,2)I\left(-1;1,2\right) ?

Correction
On remplace les coordonnées de II dans l'équation de la droite (d1)\left(d_{1} \right)
Donc {xI=2t+1yI=−tzI=t+3\left\{\begin{array}{ccc} {x_{I} } & {=} & {2t+1} \\ {y_{I} } & {=} & {-t} \\ {z_{I} } & {=} & {t+3} \end{array}\right. ce qui donne {−1=2t+11=−t2=t+3\left\{\begin{array}{ccc} {-1} & {=} & {2t+1} \\ {1} & {=} & {-t} \\ {2} & {=} & {t+3} \end{array}\right.
Puis on résout les équations et on doit pour chaque ligne trouver la même valeur de tt pour que le point II appartienne à (d1)\left(d_{1} \right) .
{2t+1=−1−t=1t+3=2\left\{\begin{array}{ccc} {2t+1} & {=} & {-1} \\ {-t} & {=} & {1} \\ {t+3} & {=} & {2} \end{array}\right. équivaut successivement à :
{2t=−1−1t=−1t=2−3\left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {-1-1} \\ {t} & {=} & {-1} \\ {t} & {=} & {2-3} \end{array}\right.
{2t=−2t=−1t=−1\left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {-2} \\ {t} & {=} & {-1} \\ {t} & {=} & {-1} \end{array}\right.
{t=−22t=−1t=−1\left\{\begin{array}{ccc} {t} & {=} & {-\frac{2}{2} } \\ {t} & {=} & {-1} \\ {t} & {=} & {-1} \end{array}\right.
Ainsi : {t=−1t=−1t=−1\left\{\begin{array}{ccc} {t} & {=} & {-1} \\ {t} & {=} & {-1} \\ {t} & {=} & {-1} \end{array}\right. .
Donc le point I(−1;1,2)I\left(-1;1,2\right) appartient à la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Question 3

La droite (d1)\left(d_{1} \right) passe-t-elle par le point J(2,0,1)J\left(2,0,1\right) ?

Correction
On remplace les coordonnées de JJ dans l'équation de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Donc {xJ=2t+1yJ=−tzJ=t+3\left\{\begin{array}{ccc} {x_{J} } & {=} & {2t+1} \\ {y_{J} } & {=} & {-t} \\ {z_{J} } & {=} & {t+3} \end{array}\right. ce qui donne {2=2t+10=−t1=t+3\left\{\begin{array}{ccc} {2} & {=} & {2t+1} \\ {0} & {=} & {-t} \\ {1} & {=} & {t+3} \end{array}\right.
Puis on résout les équations et on doit pour chaque ligne trouver la même valeur de tt pour que le point JJ appartienne à (d1)\left(d_{1} \right) .
{2t+1=2−t=0t+3=1\left\{\begin{array}{ccc} {2t+1} & {=} & {2} \\ {-t} & {=} & {0} \\ {t+3} & {=} & {1} \end{array}\right. équivaut successivement à :
{2t=2−1t=0t=1−3\left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {2-1} \\ {t} & {=} & {0} \\ {t} & {=} & {1-3} \end{array}\right.
{2t=1t=0t=−2\left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {1} \\ {t} & {=} & {0} \\ {t} & {=} & {-2} \end{array}\right.
Ainsi : {t=12t=0t=−2\left\{\begin{array}{ccc} {t} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {t} & {=} & {0} \\ {t} & {=} & {-2} \end{array}\right. .
Donc le point J(2,0,1)J\left(2,0,1\right) n'appartient à la droite (d1)\left(d_{1} \right) car les valeurs de tt sont diffeˊrentes.\red{\text{sont différentes.}}
Question 4

Déterminer les coordonnées du point AA ayant comme abscisse 22.

Correction
On a alors A(2;yA;zA)A\left(2;y_{A} ;z_{A} \right) qui appartient à (d1)\left(d_{1} \right)
Donc {xA=2t+1yA=−tzA=t+3\left\{\begin{array}{ccc} {x_{A} } & {=} & {2t+1} \\ {y_{A} } & {=} & {-t} \\ {z_{A} } & {=} & {t+3} \end{array}\right. ce qui donne {2=2t+1yA=−tzA=t+3\left\{\begin{array}{ccc} {2} & {=} & {2t+1} \\ {y_{A} } & {=} & {-t} \\ {z_{A} } & {=} & {t+3} \end{array}\right.
On résout la 11ère équation afin d'obtenir tt, ensuite on remplace tt dans la 22ème équation et la 33ème équation afin de déterminer respectivement yAy_{A} et zAz_{A}
{t=12yA=−tzA=t+3\left\{\begin{array}{ccc} {t} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {y_{A} } & {=} & {-t} \\ {z_{A} } & {=} & {t+3} \end{array}\right. équivaut successivement à
{t=12yA=−12zA=12+3\left\{\begin{array}{ccc} {t} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {y_{A} } & {=} & {-\frac{1}{2} } \\ {z_{A} } & {=} & {\frac{1}{2} +3} \end{array}\right.
{t=12yA=−12zA=72\left\{\begin{array}{ccc} {t} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {y_{A} } & {=} & {-\frac{1}{2} } \\ {z_{A} } & {=} & {\frac{7}{2} } \end{array}\right.
Les coordonnées de AA sont (2;−12;72)\left(2;\frac{-1}{2} ;\frac{7}{2} \right)