Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace
Répresentation paramétrique d'une droite
Exercice 1
La droite (d1) a pour représentation paramétrique ⎩⎨⎧xyz===2t+1−tt+3 où t∈R
1
Déterminer un vecteur directeur u de (d1)
Correction
- Soit une droite (Δ) définie par un point A(xA;yA;zA) et un vecteur directeur u(a;b;c).
La droite (Δ) admet donc un système d’équations paramétriques, appelé représentation paramétrique, de la forme : ⎩⎨⎧xyz===xA+atyA+btzA+ct où t∈R
Il faut prendre les coefficients devant les t afin d'avoir les coordonnées du vecteur directeur.
2
La droite (d1) passe-t-elle par le point I(−1;1,2) ?
Correction
On remplace les coordonnées de I dans l'équation de la droite (d1)
Donc ⎩⎨⎧xIyIzI===2t+1−tt+3 ce qui donne ⎩⎨⎧−112===2t+1−tt+3
Puis on résout les équations et on doit pour chaque ligne trouver la même valeur de t pour que le point I appartienne à (d1) .
⎩⎨⎧2t+1−tt+3===−112 équivaut successivement à :
⎩⎨⎧2ttt===−1−1−12−3
⎩⎨⎧2ttt===−2−1−1
⎩⎨⎧ttt===−22−1−1
Ainsi : ⎩⎨⎧ttt===−1−1−1.
Donc le point I(−1;1,2) appartient à la droite (d1).
Donc ⎩⎨⎧xIyIzI===2t+1−tt+3 ce qui donne ⎩⎨⎧−112===2t+1−tt+3
Puis on résout les équations et on doit pour chaque ligne trouver la même valeur de t pour que le point I appartienne à (d1) .
⎩⎨⎧2t+1−tt+3===−112 équivaut successivement à :
⎩⎨⎧2ttt===−1−1−12−3
⎩⎨⎧2ttt===−2−1−1
⎩⎨⎧ttt===−22−1−1
Ainsi : ⎩⎨⎧ttt===−1−1−1.
Donc le point I(−1;1,2) appartient à la droite (d1).
3
La droite (d1) passe-t-elle par le point J(2,0,1) ?
Correction
On remplace les coordonnées de J dans l'équation de la droite (d1).
Donc ⎩⎨⎧xJyJzJ===2t+1−tt+3 ce qui donne ⎩⎨⎧201===2t+1−tt+3
Puis on résout les équations et on doit pour chaque ligne trouver la même valeur de t pour que le point J appartienne à (d1) .
⎩⎨⎧2t+1−tt+3===201 équivaut successivement à :
⎩⎨⎧2ttt===2−101−3
⎩⎨⎧2ttt===10−2
Ainsi : ⎩⎨⎧ttt===210−2.
Donc le point J(2,0,1) n'appartient à la droite (d1) car les valeurs de t sont diffeˊrentes.
Donc ⎩⎨⎧xJyJzJ===2t+1−tt+3 ce qui donne ⎩⎨⎧201===2t+1−tt+3
Puis on résout les équations et on doit pour chaque ligne trouver la même valeur de t pour que le point J appartienne à (d1) .
⎩⎨⎧2t+1−tt+3===201 équivaut successivement à :
⎩⎨⎧2ttt===2−101−3
⎩⎨⎧2ttt===10−2
Ainsi : ⎩⎨⎧ttt===210−2.
Donc le point J(2,0,1) n'appartient à la droite (d1) car les valeurs de t sont diffeˊrentes.
4
Déterminer les coordonnées du point A ayant comme abscisse 2.
Correction
On a alors A(2;yA;zA) qui appartient à (d1)
Donc ⎩⎨⎧xAyAzA===2t+1−tt+3 ce qui donne ⎩⎨⎧2yAzA===2t+1−tt+3
On résout la 1ère équation afin d'obtenir t, ensuite on remplace t dans la 2ème équation et la 3ème équation afin de déterminer respectivement yA et zA
⎩⎨⎧tyAzA===21−tt+3 équivaut successivement à
⎩⎨⎧tyAzA===21−2121+3
⎩⎨⎧tyAzA===21−2127
Les coordonnées de A sont (2;2−1;27)
Donc ⎩⎨⎧xAyAzA===2t+1−tt+3 ce qui donne ⎩⎨⎧2yAzA===2t+1−tt+3
On résout la 1ère équation afin d'obtenir t, ensuite on remplace t dans la 2ème équation et la 3ème équation afin de déterminer respectivement yA et zA
⎩⎨⎧tyAzA===21−tt+3 équivaut successivement à
⎩⎨⎧tyAzA===21−2121+3
⎩⎨⎧tyAzA===21−2127
Les coordonnées de A sont (2;2−1;27)
Exercice 2
On donne les points A(2;−1;4), B(5;6;2)
1
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB) .
Correction
- On commence par calculer le vecteur AB qui est un vecteur directeur de la droite (AB).
Ensuite soit M un point de cordonnées (x;y;z) qui appartient à la droite (AB).
Cela signifie que les points A,B et M sont alignés donc les vecteurs AB et AM sont colinéaires.
Il existe alors un réel t tel que AM=tAB. On aura ainsi la droite (AB).
Cela donne :
AB=⎝⎛37−2⎠⎞ puis AM=⎝⎛x−2y+1z−4⎠⎞
Les points A, B et M sont alignés, donc les vecteurs AB et AM sont colinéaires.
Cela se traduit par :
AM=tAB, ce qui donne ⎩⎨⎧x−2y+1z−4===3t7t−2t où t∈R
Finalement l'équation paramétrique de (AB) est :
⎩⎨⎧xyz===3t+27t−1−2t+4 où t∈R
2
Le point C(3,0,1) appartient-il à la droite (AB) ?
Correction
On remplace les coordonnées de C(3,0,1) dans l'équation de la droite (AB)
Donc ⎩⎨⎧xCyCzC===3t+27t−1−2t+4 ce qui donne ⎩⎨⎧301===3t+27t−1−2t+4
Puis on résout les équations et on doit pour chaque ligne trouver la même valeur de t pour que le point C appartienne à (AB) .
⎩⎨⎧3t+27t−1−2t+4===301 équivaut successivement à :
⎩⎨⎧3t7t−2t===3−211−4
⎩⎨⎧3t7t−2t===11−3
Ainsi : ⎩⎨⎧ttt===317123.
Donc le point C(3,0,1) n'appartient à la droite (AB) car les valeurs de t sont diffeˊrentes.
Donc ⎩⎨⎧xCyCzC===3t+27t−1−2t+4 ce qui donne ⎩⎨⎧301===3t+27t−1−2t+4
Puis on résout les équations et on doit pour chaque ligne trouver la même valeur de t pour que le point C appartienne à (AB) .
⎩⎨⎧3t+27t−1−2t+4===301 équivaut successivement à :
⎩⎨⎧3t7t−2t===3−211−4
⎩⎨⎧3t7t−2t===11−3
Ainsi : ⎩⎨⎧ttt===317123.
Donc le point C(3,0,1) n'appartient à la droite (AB) car les valeurs de t sont diffeˊrentes.
Exercice 3
On donne les points A(1;3;0), B(3;4;1) .
1
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB) .
Correction
- On commence par calculer le vecteur AB qui est un vecteur directeur de la droite (AB).
Ensuite soit M un point de cordonnées (x;y;z) qui appartient à la droite (AB).
Cela signifie que les points A,B et M sont alignés donc les vecteurs AB et AM sont colinéaires.
Il existe alors un réel t tel que AM=tAB. On aura ainsi la droite (AB).
Cela donne :
AB=⎝⎛211⎠⎞ puis AM=⎝⎛x−1y−3z⎠⎞
Les points A, B et M sont alignés, donc les vecteurs AB et AM sont colinéaires.
Cela se traduit par :
AM=tAB, ce qui donne ⎩⎨⎧x−1y−3z===2ttt où t∈R
Finalement l'équation paramétrique de (AB) est :
⎩⎨⎧xyz===2t+1t+3t où t∈R
Exercice 4
On donne les points A(1;3;0), B(0;−1;1)
1
La droite ci-dessous est-elle une représentation paramétrique de la droite (AB) ?
⎩⎨⎧xyz===2t+1t+4t+3
⎩⎨⎧xyz===2t+1t+4t+3
Correction
- Meˊthode aˋ retenir
Vérifiez simplement si les points A(1;3;0) et B(3;4;1) appartiennent à la droite qui vous a été donnée dans l'énoncé.
Donc ⎩⎨⎧xAyAzA===2t+1t+4t+3 ce qui donne ⎩⎨⎧130===2t+1t+4t+3
Puis on résout les équations et on doit pour chaque ligne trouver la même valeur de t pour que le point A appartienne à la droite donnée.
⎩⎨⎧2t+1t+4t+3===130 équivaut successivement à :
⎩⎨⎧2ttt===1−13−4−3
⎩⎨⎧2ttt===0−1−3
Ainsi : ⎩⎨⎧ttt===0−1−3. Donc le point A(1;3;0) n'appartient pas à la droite.
On peut conclure que la droite ⎩⎨⎧xyz===2t+1t+4t+3n'est pas une écriture paramétrique de la droite (AB).
Si le point A appartient à la droite, vous devrez ensuite vérifier que le point B appartienne également à la droite.
Si c'est le cas alors la droite donnée est une écriture paramétrique de la droite.
Si c'est le cas alors la droite donnée est une écriture paramétrique de la droite.
Exercice 5
On donne les points A(−2;1;1), B(0;1;0)
1
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB) .
Correction
- On commence par calculer le vecteur AB qui est un vecteur directeur de la droite (AB).
Ensuite soit M un point de cordonnées (x;y;z) qui appartient à la droite (AB).
Cela signifie que les points A,B et M sont alignés donc les vecteurs AB et AM sont colinéaires.
Il existe alors un réel t tel que AM=tAB. On aura ainsi la droite (AB).
Cela donne :
AB=⎝⎛20−1⎠⎞ puis AM=⎝⎛x+2y−1z−1⎠⎞
Les points A, B et M sont alignés, donc les vecteurs AB et AM sont colinéaires.
Cela se traduit par :
AM=tAB, ce qui donne ⎩⎨⎧x+2y−1z−1===2t0−t où t∈R
Finalement l'équation paramétrique de (AB) est :
⎩⎨⎧xyz===2t−21−t+1 où t∈R
Exercice 6
On donne les points A(1;−5;6), B(4;9;1) .
1
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB) .
Correction
- On commence par calculer le vecteur AB qui est un vecteur directeur de la droite (AB).
Ensuite soit M un point de cordonnées (x;y;z) qui appartient à la droite (AB).
Cela signifie que les points A,B et M sont alignés donc les vecteurs AB et AM sont colinéaires.
Il existe alors un réel t tel que AM=tAB. On aura ainsi la droite (AB).
Cela donne :
AB=⎝⎛314−5⎠⎞ puis AM=⎝⎛x−1y+5z−6⎠⎞
Les points A, B et M sont alignés, donc les vecteurs AB et AM sont colinéaires.
Cela se traduit par :
AM=tAB, ce qui donne ⎩⎨⎧x−1y+5z−6===3t14t−5t où t∈R
Finalement l'équation paramétrique de (AB) est :
⎩⎨⎧xyz===3t+114t−5−5t+6 où t∈R
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