Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Repères et coordonnées - Exercice 2

15 min
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On considère un cube ABCDEFGHABCDEFGH.
L'espace est rapporté au repère orthonormé (A;AB;AD;AE)\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AE} \right).
  • Le point II est le milieu de [AB]\left[AB\right]
  • Le point JJ vérifie la relation EJ=13EF\overrightarrow{EJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{EF}
  • Le point KK vérifie la relation EK=23EH\overrightarrow{EK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH}
Question 1

Déterminer les coordonnées des points BB, DD, EE , FF et HH.

Correction
On considère le repère (A;AB;AC;AD)\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AD} \right). Si l'on veut déterminer les coordonnées par exemple d'un point MM il faut l'exprimer le point MM avec l'origine du repère en fonction des vecteurs du repère donné. Dans notre exemple, si AM=xAB+yAC+zAD\overrightarrow{AM} =\red{x}\overrightarrow{AB} +\blue{y}\overrightarrow{AC} +\purple{z}\overrightarrow{AD} alors les coordonnées de MM sont (x;y;z)\left(\red{x};\blue{y};\purple{z}\right)
AA est l'origine du repère ainsi A(0;0;0)A\left(0;0;0\right)
AB=1AB+0AD+0AE\overrightarrow{AB} =\red{1}\overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AD} +\purple{0}\overrightarrow{AE} donc les coordonnées de BB sont (1;0;0)\left(\red{1};\blue{0};\purple{0}\right)
AD=0AB+1AD+0AE\overrightarrow{AD} =\red{0}\overrightarrow{AB} +\blue{1}\overrightarrow{AD} +\purple{0}\overrightarrow{AE} donc les coordonnées de DD sont (0;1;0)\left(\red{0};\blue{1};\purple{0}\right)
AE=0AB+0AD+1AE\overrightarrow{AE} =\red{0}\overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE} donc les coordonnées de EE sont (0;0;1)\left(\red{0};\blue{0};\purple{1}\right)
AF=1AB+1BF=1AB+0AD+1AE\overrightarrow{AF} =1\overrightarrow{AB} +1\overrightarrow{BF} =\red{1}\overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE} donc les coordonnées de FF sont (1;0;1)\left(\red{1};\blue{0};\purple{1}\right) car BF=AE\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AE}
AH=1AD+1DH=0AB+1AD+1AE\overrightarrow{AH} =1\overrightarrow{AD} +1\overrightarrow{DH} =\red{0}\overrightarrow{AB} +\blue{1}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE} donc les coordonnées de HH sont (0;1;1)\left(\red{0};\blue{1};\purple{1}\right) car DH=AE\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{AE}
Question 2

Déterminer les coordonnées des points II et JJ.

Correction
II est le milieu de [AB]\left[AB\right] ainsi les coordonnées de II sont (12;0;0)\left(\frac{1}{2} ;0;0\right)
On va maintenant donner les coordonnées de JJ et KK.
On considère le repère (A;AB;AC;AD)\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AD} \right). Si l'on veut déterminer les coordonnées par exemple d'un point MM il faut l'exprimer le point MM avec l'origine du repère en fonction des vecteurs du repère donné. Dans notre exemple, si AM=xAB+yAC+zAD\overrightarrow{AM} =\red{x}\overrightarrow{AB} +\blue{y}\overrightarrow{AC} +\purple{z}\overrightarrow{AD} alors les coordonnées de MM sont (x;y;z)\left(\red{x};\blue{y};\purple{z}\right)
L'objectif est d'écrire par exemple que AJ=αAB+βAD+γAE\overrightarrow{AJ} =\alpha \overrightarrow{AB} +\beta \overrightarrow{AD} +\gamma \overrightarrow{AE}
D'après les hypothèses nous savons que : EJ=13EF\overrightarrow{EJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{EF} . D'après la relation de Chasles, on a :
EA+AJ=13EF\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{EF}
AJ=13EFEA\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{EF} -\overrightarrow{EA}
Il est évident que : EF=AB\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}. Ainsi :
AJ=13ABEA\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} -\overrightarrow{EA}
AJ=13AB+AE\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AE}
AJ=13AB+0AD+1AE\overrightarrow{AJ} =\red{\frac{1}{3}} \overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE} donc les coordonnées de JJ sont (13;0;1)\left(\red{\frac{1}{3}} ;\blue{0};\purple{1}\right)
Question 3

Déterminer les coordonnées du point KK .

Correction
On considère le repère (A;AB;AC;AD)\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AD} \right). Si l'on veut déterminer les coordonnées par exemple d'un point MM il faut l'exprimer le point MM avec l'origine du repère en fonction des vecteurs du repère donné. Dans notre exemple, si AM=xAB+yAC+zAD\overrightarrow{AM} =\red{x}\overrightarrow{AB} +\blue{y}\overrightarrow{AC} +\purple{z}\overrightarrow{AD} alors les coordonnées de MM sont (x;y;z)\left(\red{x};\blue{y};\purple{z}\right)
D'après les hypothèses nous savons que : EK=23EH\overrightarrow{EK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH} . D'après la relation de Chasles, on a :
EK=23EH\overrightarrow{EK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH} équivaut successivement à :
EA+AK=23EH\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{AK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH}
AK=23EHEA\overrightarrow{AK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH} -\overrightarrow{EA}
AK=23EH+AE\overrightarrow{AK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH} +\overrightarrow{AE} . Comme EH=AD\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD}
AK=0AB+23AD+1AE\overrightarrow{AK} =\red{0}\overrightarrow{AB} +\blue{\frac{2}{3}} \overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE} donc les coordonnées de KK sont (0;23;1)\left(\red{0};\blue{\frac{2}{3}} ;\purple{1}\right)
Question 4

Montrer que les droites (JK)\left(JK\right) et (ID)\left(ID\right) sont parallèles.

Correction
On souhaite montrer si les droites (JK)\left(JK\right) et (ID)\left(ID\right) sont parallèles.
On connaît les coordonnées de J,K,IJ,K,I et DD.
Si les vecteurs JK\overrightarrow{JK} et ID\overrightarrow{ID} colinéaires alors les (JK)\left(JK\right) et (ID)\left(ID\right) seront bien parallèles
On sait les coordonnées des points suivants I(12;0;0)I\left(\frac{1}{2} ;0;0\right) ; J(13;0;1)J\left(\frac{1}{3} ;0;1\right) ; K(0;23;1)K\left(0;\frac{2}{3} ;1\right)et D(0;1;0)D\left(0;1;0\right)
On calcule les vecteurs JK(13230)\overrightarrow{JK} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{3} } \\ {\frac{2}{3} } \\ {0} \end{array}\right) et ID(1210)\overrightarrow{ID} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{2} } \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)
Existe-t-il un réel kk tel que JK=kID\overrightarrow{JK} =k\overrightarrow{ID} ?
On obtient le système suivant {13=12k23=k0=0k\left\{\begin{array}{ccc} {-\frac{1}{3} } & {=} & {-\frac{1}{2} k} \\ {\frac{2}{3} } & {=} & {k} \\ {0} & {=} & {0k} \end{array}\right.
Ainsi {k=23k=230=0\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {\frac{2}{3} } \\ {k} & {=} & {\frac{2}{3} } \\ {0} & {=} & {0} \end{array}\right.
Il en résulte que JK=23ID\overrightarrow{JK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{ID} .
Les vecteurs JK\overrightarrow{JK} et ID\overrightarrow{ID} sont colineˊaires\red{\text{colinéaires}} alors les droites (JK)\left(JK\right) et (ID)\left(ID\right) sont bien paralleˋles.\red{\text{sont bien parallèles.}}