Repères et coordonnées - Exercice 2

$$A$$ est l'origine du repère ainsi $$A\left(0;0;0\right)$$
$$\overrightarrow{AB} =\red{1}\overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AD} +\purple{0}\overrightarrow{AE}$$ donc les coordonnées de $$B$$ sont $$\left(\red{1};\blue{0};\purple{0}\right)$$
$$\overrightarrow{AD} =\red{0}\overrightarrow{AB} +\blue{1}\overrightarrow{AD} +\purple{0}\overrightarrow{AE}$$ donc les coordonnées de $$D$$ sont $$\left(\red{0};\blue{1};\purple{0}\right)$$
$$\overrightarrow{AE} =\red{0}\overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE}$$ donc les coordonnées de $$E$$ sont $$\left(\red{0};\blue{0};\purple{1}\right)$$
$$\overrightarrow{AF} =1\overrightarrow{AB} +1\overrightarrow{BF} =\red{1}\overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE}$$ donc les coordonnées de $$F$$ sont $$\left(\red{1};\blue{0};\purple{1}\right)$$ car $$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AE}$$
$$\overrightarrow{AH} =1\overrightarrow{AD} +1\overrightarrow{DH} =\red{0}\overrightarrow{AB} +\blue{1}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE}$$ donc les coordonnées de $$H$$ sont $$\left(\red{0};\blue{1};\purple{1}\right)$$ car $$\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{AE}$$

$$I$$ est le milieu de $$\left[AB\right]$$ ainsi les coordonnées de $$I$$ sont $$\left(\frac{1}{2} ;0;0\right)$$
On va maintenant donner les coordonnées de $$J$$ et $$K$$.
L'objectif est d'écrire par exemple que $$\overrightarrow{AJ} =\alpha \overrightarrow{AB} +\beta \overrightarrow{AD} +\gamma \overrightarrow{AE}$$
D'après les hypothèses nous savons que : $$\overrightarrow{EJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{EF}$$ . D'après la relation de Chasles, on a :
$$\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{EF}$$
$$\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{EF} -\overrightarrow{EA}$$
Il est évident que : $$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}$$. Ainsi :
$$\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} -\overrightarrow{EA}$$
$$\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AE}$$
$$\overrightarrow{AJ} =\red{\frac{1}{3}} \overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE}$$ donc les coordonnées de $$J$$ sont $$\left(\red{\frac{1}{3}} ;\blue{0};\purple{1}\right)$$

D'après les hypothèses nous savons que : $$\overrightarrow{EK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH}$$ . D'après la relation de Chasles, on a :
$$\overrightarrow{EK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH}$$ équivaut successivement à :
$$\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{AK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH}$$
$$\overrightarrow{AK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH} -\overrightarrow{EA}$$
$$\overrightarrow{AK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH} +\overrightarrow{AE}$$ . Comme $$\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD}$$
$$\overrightarrow{AK} =\red{0}\overrightarrow{AB} +\blue{\frac{2}{3}} \overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE}$$ donc les coordonnées de $$K$$ sont $$\left(\red{0};\blue{\frac{2}{3}} ;\purple{1}\right)$$

On souhaite montrer si les droites $$\left(JK\right)$$ et $$\left(ID\right)$$ sont parallèles.
On connaît les coordonnées de $$J,K,I$$ et $$D$$.
Si les vecteurs $$\overrightarrow{JK}$$ et $$\overrightarrow{ID}$$ colinéaires alors les $$\left(JK\right)$$ et $$\left(ID\right)$$ seront bien parallèles
On sait les coordonnées des points suivants $$I\left(\frac{1}{2} ;0;0\right)$$ ; $$J\left(\frac{1}{3} ;0;1\right)$$ ; $$K\left(0;\frac{2}{3} ;1\right)$$et $$D\left(0;1;0\right)$$
On calcule les vecteurs $$\overrightarrow{JK} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{3} } \\ {\frac{2}{3} } \\ {0} \end{array}\right)$$ et $$\overrightarrow{ID} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{2} } \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)$$
Existe-t-il un réel $$k$$ tel que $$\overrightarrow{JK} =k\overrightarrow{ID}$$ ?
On obtient le système suivant $$\left\{\begin{array}{ccc} {-\frac{1}{3} } & {=} & {-\frac{1}{2} k} \\ {\frac{2}{3} } & {=} & {k} \\ {0} & {=} & {0k} \end{array}\right.$$
Ainsi $$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {\frac{2}{3} } \\ {k} & {=} & {\frac{2}{3} } \\ {0} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Il en résulte que $$\overrightarrow{JK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{ID}$$ .
Les vecteurs $$\overrightarrow{JK}$$ et $$\overrightarrow{ID}$$ sont $$\red{\text{colinéaires}}$$ alors les droites $$\left(JK\right)$$ et $$\left(ID\right)$$ $$\red{\text{sont bien parallèles.}}$$