Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Repères et coordonnées

Exercice 1

Soit ABCDABCD un tétraèdre. On considère les points II et JJ milieux respectifs de [AC]\left[AC\right] et [BD]\left[BD\right].
Les points P,Q,RP,Q,R et SS sont définis par
AP=25AB\overrightarrow{AP} =\frac{2}{5} \overrightarrow{AB} , AQ=23AD\overrightarrow{AQ} =\frac{2}{3} \overrightarrow{AD} , CR=13CB\overrightarrow{CR} =\frac{1}{3} \overrightarrow{CB} et CS=25CD\overrightarrow{CS} =\frac{2}{5} \overrightarrow{CD}
On considère le repère (A;AB;AC;AD)\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AD} \right)
1

Déterminer les coordonnées des points A,B,CA,B,C et DD.

Correction
2

Déterminer les coordonnées des points PP  \;et  \;QQ .

Correction
3

Déterminer les coordonnées du point RR.

Correction
4

Déterminer les coordonnées du point SS.

Correction
5

Déterminer les coordonnées des points II et JJ .

Correction

Exercice 2

On considère un cube ABCDEFGHABCDEFGH.
L'espace est rapporté au repère orthonormé (A;AB;AD;AE)\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AE} \right).
  • Le point II est le milieu de [AB]\left[AB\right]
  • Le point JJ vérifie la relation EJ=13EF\overrightarrow{EJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{EF}
  • Le point KK vérifie la relation EK=23EH\overrightarrow{EK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH}
1

Déterminer les coordonnées des points BB, DD, EE , FF et HH.

Correction
2

Déterminer les coordonnées des points II et JJ.

Correction
3

Déterminer les coordonnées du point KK .

Correction
4

Montrer que les droites (JK)\left(JK\right) et (ID)\left(ID\right) sont parallèles.

Correction
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