Les points P,Q,R et S sont définis par AP=52AB, AQ=32AD, CR=31CB et CS=52CD On considère le repère (A;AB;AC;AD)
1
Déterminer les coordonnées des points A,B,C et D.
Correction
On considère le repère (A;AB;AC;AD). Si l'on veut déterminer les coordonnées par exemple d'un point M il faut l'exprimer le point M avec l'origine du repère en fonction des vecteurs du repère donné. Dans notre exemple, si AM=xAB+yAC+zAD alors les coordonnées de M sont (x;y;z)
A est l'origine du repère ainsi A(0;0;0)
AB=1AB+0AC+0AD donc les coordonnées de B sont (1;0;0)
AC=0AB+1AC+0AD donc les coordonnées de C sont (0;1;0)
AD=0AB+0AC+1AD donc les coordonnées de D sont (0;0;1)
2
Déterminer les coordonnées des points PetQ .
Correction
On considère le repère (A;AB;AC;AD). Si l'on veut déterminer les coordonnées par exemple d'un point M il faut l'exprimer le point M avec l'origine du repère en fonction des vecteurs du repère donné. Dans notre exemple, si AM=xAB+yAC+zAD alors les coordonnées de M sont (x;y;z)
A est l'origine du repère ainsi A(0;0;0) . D'après les hypothèses nous savons que : AP=52AB et AQ=32AD. Il vient alors que :
AP=52AB+0AC+0AD donc les coordonnées de P sont (52;0;0)
AQ=0AB+0AC+32AD donc les coordonnées de Q sont (0;0;32)
3
Déterminer les coordonnées du point R.
Correction
On considère le repère (A;AB;AC;AD). Si l'on veut déterminer les coordonnées par exemple d'un point M il faut l'exprimer le point M avec l'origine du repère en fonction des vecteurs du repère donné. Dans notre exemple, si AM=xAB+yAC+zAD alors les coordonnées de M sont (x;y;z)
D'après les hypothèses, nous savons que : CR=31CB
CR=31CB avec la relation de Chasles on a : CR=31(CA+AB)=31CA+31AB Soit : CR=31AB−31AC+0AD. Ensuite il ne faut pas oublier d'exprimer CR avec l'origine du repère, ce qui donne CA+AR=31AB−31AC+0AD. On a alors : AR=31AB−31AC−CA+0AD AR=31AB−31AC+AC+0AD Enfin : AR=31AB+32AC+0AD donc les coordonnées de R sont (31;32;0)
4
Déterminer les coordonnées du point S.
Correction
On considère le repère (A;AB;AC;AD). Si l'on veut déterminer les coordonnées par exemple d'un point M il faut l'exprimer le point M avec l'origine du repère en fonction des vecteurs du repère donné. Dans notre exemple, si AM=xAB+yAC+zAD alors les coordonnées de M sont (x;y;z)
On sait que CS=52CD, donc d'après la relation de Chasles : CA+AS=52CD. Soit : AS=52CD−CA. On effectue la relation de Chasles avec le vecteur CD, il en résulte que : AS=52(CA+AD)−CA AS=52CA+52AD−CA AS=−53CA+52AD Enfin : AS=0AB+53AC+52AD Donc les coordonnées de S sont (0;53;52)
5
Déterminer les coordonnées des points I et J .
Correction
Les points I et J sont les milieux respectifs de [AC] et [BD]. Nous savons également que : A(0;0;0) , B(1;0;0) , C(0;1;0) et D(0;0;1)
Calculons les coordonnées de I et J. D’une part : les coordonnées de I sont données par xI=2xA+xC⇔xI=20+0⇔xI=0 yI=2yA+yC⇔yI=20+1⇔yI=21 zI=2zA+zC⇔zI=20+0⇔zI=0 Les coordonnées de I sont alors (0;21;0)
D’autre part : les coordonnées de J sont données par xJ=2xB+xD⇔xJ=21+0⇔xJ=21 yJ=2yB+yD⇔yJ=20+0⇔yJ=0 zJ=2zB+zD⇔zI=20+1⇔zI=21 Les coordonnées de J sont alors (21;0;21)
Exercice 2
On considère un cube ABCDEFGH. L'espace est rapporté au repère orthonormé (A;AB;AD;AE).
Le point I est le milieu de [AB]
Le point J vérifie la relation EJ=31EF
Le point K vérifie la relation EK=32EH
1
Déterminer les coordonnées des points B, D, E , F et H.
Correction
On considère le repère (A;AB;AC;AD). Si l'on veut déterminer les coordonnées par exemple d'un point M il faut l'exprimer le point M avec l'origine du repère en fonction des vecteurs du repère donné. Dans notre exemple, si AM=xAB+yAC+zAD alors les coordonnées de M sont (x;y;z)
A est l'origine du repère ainsi A(0;0;0) AB=1AB+0AD+0AE donc les coordonnées de B sont (1;0;0) AD=0AB+1AD+0AE donc les coordonnées de D sont (0;1;0) AE=0AB+0AD+1AE donc les coordonnées de E sont (0;0;1) AF=1AB+1BF=1AB+0AD+1AE donc les coordonnées de F sont (1;0;1) car BF=AE AH=1AD+1DH=0AB+1AD+1AE donc les coordonnées de H sont (0;1;1) car DH=AE
2
Déterminer les coordonnées des points I et J.
Correction
I est le milieu de [AB] ainsi les coordonnées de I sont (21;0;0) On va maintenant donner les coordonnées de J et K.
On considère le repère (A;AB;AC;AD). Si l'on veut déterminer les coordonnées par exemple d'un point M il faut l'exprimer le point M avec l'origine du repère en fonction des vecteurs du repère donné. Dans notre exemple, si AM=xAB+yAC+zAD alors les coordonnées de M sont (x;y;z)
L'objectif est d'écrire par exemple que AJ=αAB+βAD+γAE D'après les hypothèses nous savons que : EJ=31EF . D'après la relation de Chasles, on a : EA+AJ=31EF AJ=31EF−EA AJ=31(EA+AF)−EA AJ=31EA+31AF−EA AJ=−32EA+31AF AJ=−32EA+31(AB+BF) AJ=−32EA+31AB+31BF AJ=32AE+31AB+31AE AJ=31AB+0AD+1AE donc les coordonnées de J sont (31;0;1)
3
Déterminer les coordonnées du point K .
Correction
On considère le repère (A;AB;AC;AD). Si l'on veut déterminer les coordonnées par exemple d'un point M il faut l'exprimer le point M avec l'origine du repère en fonction des vecteurs du repère donné. Dans notre exemple, si AM=xAB+yAC+zAD alors les coordonnées de M sont (x;y;z)
D'après les hypothèses nous savons que : EK=32EH . D'après la relation de Chasles, on a : EK=32EH équivaut successivement à : EA+AK=32EH AK=32EH−EA AK=32EH+AE . Comme EH=AD AK=0AB+32AD+1AE donc les coordonnées de K sont (0;32;1)
4
Montrer que les droites (JK) et (ID) sont parallèles.
Correction
On souhaite montrer si les droites (JK) et (ID) sont parallèles. On connaît les coordonnées de J,K,I et D. Si les vecteurs JK et ID colinéaires alors les (JK) et (ID) seront bien parallèles On sait les coordonnées des points suivants I(21;0;0) ; J(31;0;1) ; K(0;32;1)et D(0;1;0) On calcule les vecteurs JK⎝⎛−31320⎠⎞ et ID⎝⎛−2110⎠⎞ Existe-t-il un réel k tel que JK=kID ? On obtient le système suivant ⎩⎨⎧−31320===−21kk0k Ainsi ⎩⎨⎧kk0===32320 Il en résulte que JK=32ID . Les vecteurs JK et ID sont colineˊaires alors les droites (JK) et (ID)sont bien paralleˋles.
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