Repères et coordonnées

$A$ est l'origine du repère ainsi $A\left(0;0;0\right)$

$\overrightarrow{AB} =\red{1}\overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AC} +\purple{0}\overrightarrow{AD}$ donc les coordonnées de $B$ sont $\left(\red{1};\blue{0};\purple{0}\right)$

$\overrightarrow{AC} =\red{0}\overrightarrow{AB} +\blue{1}\overrightarrow{AC} +\purple{0}\overrightarrow{AD}$ donc les coordonnées de $C$ sont $\left(\red{0};\blue{1};\purple{0}\right)$

$\overrightarrow{AD} =\red{0}\overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AC} +\purple{1}\overrightarrow{AD}$ donc les coordonnées de $D$ sont $\left(\red{0};\blue{0};\purple{1}\right)$

$A$ est l'origine du repère ainsi $A\left(0;0;0\right)$ . D'après les hypothèses nous savons que : $\overrightarrow{AP} =\frac{2}{5} \overrightarrow{AB}$ $\;$ et $\;$$\overrightarrow{AQ} =\frac{2}{3} \overrightarrow{AD}$. Il vient alors que :

$\overrightarrow{AP} =\red{\frac{2}{5}} \overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AC} +\purple{0}\overrightarrow{AD}$ donc les coordonnées de $P$ sont $\left(\red{\frac{2}{5}} ;\blue{0};\purple{0}\right)$

$\overrightarrow{AQ} =\red{0}\overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AC} +\purple{\frac{2}{3} }\overrightarrow{AD}$ donc les coordonnées de $Q$ sont $\left(\red{0};\blue{0};\purple{\frac{2}{3} } \right)$

D'après les hypothèses, nous savons que : $\overrightarrow{CR} =\frac{1}{3} \overrightarrow{CB}$

$\overrightarrow{CR} =\frac{1}{3} \overrightarrow{CB}$ avec la relation de Chasles on a : $\overrightarrow{CR} =\frac{1}{3} \left(\overrightarrow{CA} +\overrightarrow{AB} \right)=\frac{1}{3} \overrightarrow{CA} +\frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$
Soit : $\overrightarrow{CR} =\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} -\frac{1}{3} \overrightarrow{AC} +0\overrightarrow{AD}$.
Ensuite il ne faut pas oublier d'exprimer $\overrightarrow{CR}$ avec l'origine du repère, ce qui donne $\overrightarrow{CA} +\overrightarrow{AR} =\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} -\frac{1}{3} \overrightarrow{AC} +0\overrightarrow{AD}$.
On a alors :
$\overrightarrow{AR} =\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} -\frac{1}{3} \overrightarrow{AC} -\overrightarrow{CA} +0\overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{AR} =\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} -\frac{1}{3} \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AC} +0\overrightarrow{AD}$
Enfin : $\overrightarrow{AR} =\red{\frac{1}{3}} \overrightarrow{AB} +\blue{\frac{2}{3}} \overrightarrow{AC} +\purple{0}\overrightarrow{AD}$ donc les coordonnées de $R$ sont $\left(\red{\frac{1}{3}} ;\blue{\frac{2}{3}} ;\purple{0}\right)$

Les points $I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $\left[AC\right]$ et $\left[BD\right]$.
Nous savons également que : $A\left(0;0;0\right)$ , $B\left(\red{1};\blue{0};\purple{0}\right)$ , $C\left(\red{0};\blue{1};\purple{0}\right)$ et $D\left(\red{0};\blue{0};\purple{1}\right)$

Calculons les coordonnées de $I$ et $J$.
$\red{\text{D'une part :}}$ les coordonnées de $I$ sont données par
$x_{I} =\frac{x_{A} +x_{C} }{2} \Leftrightarrow x_{I} =\frac{0+0}{2} \Leftrightarrow x_{I} =0$
$y_{I} =\frac{y_{A} +y_{C} }{2} \Leftrightarrow y_{I} =\frac{0+1}{2} \Leftrightarrow y_{I} =\frac{1}{2}$
$z_{I} =\frac{z_{A} +z_{C} }{2} \Leftrightarrow z_{I} =\frac{0+0}{2} \Leftrightarrow z_{I} =0$
Les coordonnées de $I$ sont alors $\left(0;\frac{1}{2} ;0\right)$

$\red{\text{D'autre part :}}$ les coordonnées de $J$ sont données par
$x_{J} =\frac{x_{B} +x_{D} }{2} \Leftrightarrow x_{J} =\frac{1+0}{2} \Leftrightarrow x_{J} =\frac{1}{2}$
$y_{J} =\frac{y_{B} +y_{D} }{2} \Leftrightarrow y_{J} =\frac{0+0}{2} \Leftrightarrow y_{J} =0$
$z_{J} =\frac{z_{B} +z_{D} }{2} \Leftrightarrow z_{I} =\frac{0+1}{2} \Leftrightarrow z_{I} =\frac{1}{2}$
Les coordonnées de $J$ sont alors $\left(\frac{1}{2} ;0;\frac{1}{2} \right)$

$A$ est l'origine du repère ainsi $A\left(0;0;0\right)$
$\overrightarrow{AB} =\red{1}\overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AD} +\purple{0}\overrightarrow{AE}$ donc les coordonnées de $B$ sont $\left(\red{1};\blue{0};\purple{0}\right)$
$\overrightarrow{AD} =\red{0}\overrightarrow{AB} +\blue{1}\overrightarrow{AD} +\purple{0}\overrightarrow{AE}$ donc les coordonnées de $D$ sont $\left(\red{0};\blue{1};\purple{0}\right)$
$\overrightarrow{AE} =\red{0}\overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE}$ donc les coordonnées de $E$ sont $\left(\red{0};\blue{0};\purple{1}\right)$
$\overrightarrow{AF} =1\overrightarrow{AB} +1\overrightarrow{BF} =\red{1}\overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE}$ donc les coordonnées de $F$ sont $\left(\red{1};\blue{0};\purple{1}\right)$ car $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AE}$
$\overrightarrow{AH} =1\overrightarrow{AD} +1\overrightarrow{DH} =\red{0}\overrightarrow{AB} +\blue{1}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE}$ donc les coordonnées de $H$ sont $\left(\red{0};\blue{1};\purple{1}\right)$ car $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{AE}$

$I$ est le milieu de $\left[AB\right]$ ainsi les coordonnées de $I$ sont $\left(\frac{1}{2} ;0;0\right)$
On va maintenant donner les coordonnées de $J$ et $K$.
L'objectif est d'écrire par exemple que $\overrightarrow{AJ} =\alpha \overrightarrow{AB} +\beta \overrightarrow{AD} +\gamma \overrightarrow{AE}$
D'après les hypothèses nous savons que : $\overrightarrow{EJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{EF}$ . D'après la relation de Chasles, on a :
$\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{EF}$
$\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{EF} -\overrightarrow{EA}$
$\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{3} \left(\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{AF} \right)-\overrightarrow{EA}$
$\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{3}\overrightarrow{EA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AF} -\overrightarrow{EA}$
$\overrightarrow{AJ} =-\frac{2}{3} \overrightarrow{EA} +\frac{1}{3} \overrightarrow{AF}$
$\overrightarrow{AJ} =-\frac{2}{3} \overrightarrow{EA} +\frac{1}{3} \left(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BF} \right)$
$\overrightarrow{AJ} =-\frac{2}{3} \overrightarrow{EA} +\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} +\frac{1}{3} \overrightarrow{BF}$
$\overrightarrow{AJ} =\frac{2}{3} \overrightarrow{AE} +\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} +\frac{1}{3} \overrightarrow{AE}$
$\overrightarrow{AJ} =\red{\frac{1}{3}} \overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE}$ donc les coordonnées de $J$ sont $\left(\red{\frac{1}{3}} ;\blue{0};\purple{1}\right)$

D'après les hypothèses nous savons que : $\overrightarrow{EK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH}$ . D'après la relation de Chasles, on a :
$\overrightarrow{EK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH}$ équivaut successivement à :
$\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{AK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH}$
$\overrightarrow{AK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH} -\overrightarrow{EA}$
$\overrightarrow{AK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH} +\overrightarrow{AE}$ . Comme $\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{AK} =\red{0}\overrightarrow{AB} +\blue{\frac{2}{3}} \overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE}$ donc les coordonnées de $K$ sont $\left(\red{0};\blue{\frac{2}{3}} ;\purple{1}\right)$

On souhaite montrer si les droites $\left(JK\right)$ et $\left(ID\right)$ sont parallèles.
On connaît les coordonnées de $J,K,I$ et $D$.
Si les vecteurs $\overrightarrow{JK}$ et $\overrightarrow{ID}$ colinéaires alors les $\left(JK\right)$ et $\left(ID\right)$ seront bien parallèles
On sait les coordonnées des points suivants $I\left(\frac{1}{2} ;0;0\right)$ ; $J\left(\frac{1}{3} ;0;1\right)$ ; $K\left(0;\frac{2}{3} ;1\right)$et $D\left(0;1;0\right)$
On calcule les vecteurs $\overrightarrow{JK} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{3} } \\ {\frac{2}{3} } \\ {0} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{ID} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{2} } \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)$
Existe-t-il un réel $k$ tel que $\overrightarrow{JK} =k\overrightarrow{ID}$ ?
On obtient le système suivant $\left\{\begin{array}{ccc} {-\frac{1}{3} } & {=} & {-\frac{1}{2} k} \\ {\frac{2}{3} } & {=} & {k} \\ {0} & {=} & {0k} \end{array}\right.$
Ainsi $\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {\frac{2}{3} } \\ {k} & {=} & {\frac{2}{3} } \\ {0} & {=} & {0} \end{array}\right.$
Il en résulte que $\overrightarrow{JK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{ID}$ .
Les vecteurs $\overrightarrow{JK}$ et $\overrightarrow{ID}$ sont $\red{\text{colinéaires}}$ alors les droites $\left(JK\right)$ et $\left(ID\right)$ $\red{\text{sont bien parallèles.}}$