Point coplanaire et combinaison linéaire de vecteurs - Exercice 1

Il faut montrer que $$\overrightarrow{P K}$$ s'écrit comme combinaison linéaire de $$\overrightarrow{P Q}$$ et $$\overrightarrow{P R}$$.
Comme $$P, Q$$ et $$R$$ sont trois sommets d'un tétraèdre, ils ne sont pas alignés $$: \overrightarrow{P Q}$$ et $$\overrightarrow{P R}$$ ne sont donc pas colinéaires et dirigent le plan $$(P Q R)$$.
Nous savons que :
$$\overrightarrow{Q K}=-2 \overrightarrow{P K}+3 \overrightarrow{K R}$$
Nous allons tout exprimer $$\overrightarrow{Q K}$$ et $$\overrightarrow{K R}$$ en introduisant le point $$P$$ (à l'aide de la relation de Chasles)
$$\red{\overrightarrow{Q K}=\overrightarrow{Q P}+\overrightarrow{P K}=-\overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{P K}}$$
$$\pink{\overrightarrow{K R}=\overrightarrow{K P}+\overrightarrow{P R}=-\overrightarrow{P K}+\overrightarrow{P R}}$$
Nous allons remplacer cela dans la relation : $$\overrightarrow{Q K}=-2 \overrightarrow{P K}+3 \overrightarrow{K R}$$
Il vient alors que :
$$\red{\overrightarrow{Q K}}=-2 \overrightarrow{P K}+3 \pink{\overrightarrow{K R}}$$
$$\red{-\overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{P K}}=-2 \overrightarrow{P K}+3\left( \pink{-\overrightarrow{P K}+\overrightarrow{P R}}\right)$$
$$-\overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{P K}=-2 \overrightarrow{P K}-3 \overrightarrow{P K}+3 \overrightarrow{P R}$$
$$-\overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{P K}=-5 \overrightarrow{P K}+3 \overrightarrow{P R}$$
Exprimons maintenant $$\overrightarrow{P K}$$ en fonction de $$\overrightarrow{P Q}$$ et $$\overrightarrow{P R}$$. Il vient que :
$$6 \overrightarrow{P K}=\overrightarrow{P Q}+3 \overrightarrow{P R}$$
Et de ce fait : $$\overrightarrow{P K}=\frac{1}{6} \overrightarrow{P Q}+\frac{1}{2} \overrightarrow{P R}$$
Le vecteur $$\overrightarrow{P K}$$ est une combinaison linéaire des vecteurs $$\overrightarrow{P Q}$$ et $$\overrightarrow{P R}$$, qui sont non colinéaires.
Le point $$K$$ appartient donc au plan passant par $$P$$ et dirigé par $$\overrightarrow{P Q}$$ et $$\overrightarrow{P R}$$, c'est-à-dire au plan $$(P Q R)$$.