Montrer que deux droites sont coplanaires - Exercice 3

$$\red{\text{ Etape 1 :}}$$ On note $$\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right)$$ et $$\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-2} \end{array}\right)$$ respectivement les vecteurs directeurs des droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$.
On vérifie facilement que les deux vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires , donc les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ ne sont pas parallèles.
$$\red{\text{ Etape 2 :}}$$

$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {-2t+3} & {=} & {s+1} \\ {-t+5} & {=} & {2s+4} \\ {t+2} & {=} & {-2s+3} \end{array}\right.$$ avec la première ligne on exprime $$s$$ en fonction de $$t$$
$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {-2t+2} & {=} & {s} \\ {-t+5} & {=} & {2s+4} \\ {t+2} & {=} & {-2s+3} \end{array}\right.$$ on remplace ensuite $$s$$ dans la $$2$$^ème équation et dans la $$3$$^ème pour déterminer la valeur de $$t$$ .
$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {-2t+2} & {=} & {s} \\ {-t+5} & {=} & {2\times \left(-2t+2\right)+4} \\ {t+2} & {=} & {-2\times \left(-2t+2\right)+3} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à
$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {-2t+2} & {=} & {s} \\ {-t+5} & {=} & {-4t+8} \\ {t+2} & {=} & {4t-1} \end{array}\right.$$
$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {-2t+2} & {=} & {s} \\ {3t} & {=} & {3} \\ {-3t+2} & {=} & {-1} \end{array}\right.$$
$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {-2t+2} & {=} & {s} \\ {t} & {=} & {1} \\ {t} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
Ici, les valeurs de $$t$$ sont égales, on peut ainsi définir $$s$$.
$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {0} & {=} & {s} \\ {t} & {=} & {1} \\ {t} & {=} & {1} \end{array}\right.$$ On remplace maintenant les valeurs de $$t$$ et $$s$$ respectivement dans les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$.
$$\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccccc} {x} & {=} & {-2\times 1+3} & {=} & {1} \\ {y} & {=} & {-1+5} & {=} & {4} \\ {z} & {=} & {1+2} & {=} & {3} \end{array}\right.$$ et $$\left(d_{2} \right):\left\{\begin{array}{ccccc} {x} & {=} & {0+1} & {=} & {1} \\ {y} & {=} & {2\times 0+4} & {=} & {4} \\ {z} & {=} & {-2\times 0+3} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
Notons $$I\left(1;4;3\right)$$ le point d'intersection entre les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$
Les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ sont donc coplanaires.